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2015年度 愛光中学校 算数 【1 】(6) 面積

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2015年度 愛光中学校 算数 【1 】(6) 面積の解答解説です。

問題文は、四谷大塚ドットコム 中学入試過去問データベース よりダウンロードして下さい。
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1. 外側の正方形の面積を求める

2015年度愛光中学校算数過去問1-6

外側の正方形の面積を求めたいので、外側の正方形の1辺の長さが分かれば良さそうですね。

1.1 外側の正方形の1辺の長さは?

正方形の内側に接している円の直径と同じ長さになります。

2015年度愛光中学校算数過去問1-6

すなわち、外側の正方形の面積は、(直径) × (直径) です。

1.2 直径を求めよう

問題文に書かれてある、数値は、円の内側に頂点が接している正方形の1辺 5cm のみです。ここで、正方形の面積の出し方は、

  • (1辺) × (1辺)
  • (対角線) × (対角線) ÷ 2

の2種類あることを思い出しましょう。つまり、正方形において、

(1辺) × (1辺) = (対角線) × (対角線) ÷ 2

が成り立ちます。

2015年度愛光中学校算数過去問1-6

よって、内側の正方形(赤)の面積は、5\times5=25cm^2

対角線を使った面積の計算に当てはめて、

(対角線) × (対角線) ÷ 2 = 25
(対角線) × (対角線) = 50

この正方形の (対角線) = (円の直径) なので、式を変形して

(直径) × (直径) = 50 となります。

【ポイント】 この問題では、(直径) × (直径) = 50 が、計算できるか? がポイントです。

1.3 外側の正方形の面積

あらためて、外側の正方形の面積は、(直径) × (直径) でしたので、求める面積は、ポイントの式をそのまま使って、50cm^2 となります

2. 灰色の部分の面積

2.1 円の面積

円の面積の公式は、(円の面積) = (半径) × (半径) × (円周率) ですね。これを、直径を使って表しましょう。

2015年度愛光中学校算数過去問1-6

この式に、ポイントの式 (直径) × (直径) = 50 を代入すると、

50\times\frac{1}{4}\times3.14=39.25(cm^2)・・・(円の面積)

【計算のスピードアップ】

50\times\frac{1}{4}\times3.14=12.5\times3.14

の計算をもちろんしても良いですが…
分母が 50 であることに注目します。2倍すると100なので、

50\times\frac{1}{4}\times3.14=\frac{100}{8}\times3.14=\frac{314}{8}

とすることで、3.14のかけ算を単純化します。

\frac{314}{8}=\frac{157}{4}

そのまま314を8で割っても良いのですが… 314÷2=157 は覚えている 受験生も多いので、2で割って、ここまで計算。

そして\frac{157}{4}= 39.25(cm^2)

このように書くと、ややこしいことをするより、12.5×3.14を素直にしたほうが良いのでは? とも思いますが、日頃から 分数の計算に慣れておくと、かけ算をするより速く解けるようになりますよ。

2.2 灰色の面積

灰色部分の面積は、外側の正方形から円を引けば良いので、

50-39.25=10.75(cm^2)・・・(答え)

3. 数学的解法

赤い正方形の中の、緑の三角形は直角二等辺三角形であるため、辺の長さの比は、1:1:\sqrt[ ]{\mathstrut2}

2015年度愛光中学校算数過去問1-6

よって、円の半径は、\frac{5}{\sqrt[ ]{\mathstrut2}}cmとなります。2015年度愛光中学校算数過去問1-6

よって、求める外側の正方形の面積は、

(2\times\frac{5}{\sqrt[ ]{\mathstrut2}})^2=\frac{10^2}{2}=50(cm^2)

円の面積は、

\pi(\frac{5}{\sqrt[ ]{\mathstrut2}})^2=\frac{25}{2}\pi=39.25(cm^2)

求める灰色の面積は、

50-39.25=10.75(cm^2)

数学では、\piのまま 残しておけば良いのですが、\pi=3.14で計算しています。

4. まとめ

この問題は、ポイントである (直径) × (直径) = 50 を見つけられるかどうか? が、正誤の分かれ目となります。

また、数学的解法で書きましたが、辺の長さの比は、1:1:\sqrt[ ]{\mathstrut2}であることを知っていれば、解答可能です。

小学生に数学を教えるか否か? というのは、様々な意見があります。(例 : 数学を早期に教えると、柔軟な発想力がなくなる。 や、そもそも 受験算数でも 虫食い算を扱っているので、数学の一部を取り入れている。等…)

私自身、小学生の時、三角定規の辺の長さの比

  • 1:1:\sqrt[ ]{\mathstrut2}
  • 1:2:\sqrt[ ]{\mathstrut3}

であることは、習っていましたし、\sqrt[ ]{\mathstrut2}\times\sqrt[ ]{\mathstrut2}=2, \sqrt[ ]{\mathstrut3}\times\sqrt[ ]{\mathstrut3}=3 ということも、学習済みでした。

受験算数は、当然 数学を知らなくとも解くことが出来る問題ですが、受験を突破するという点においては、知っておいても損はないのかなぁ と 思っています。

ということで、私は、小学生に 三角定規のピタゴラスの定義と平方根は教えています。

小学生へのピタゴラスの定義の教え方 >> 三平方(ピタゴラス)の定理を証明♪中学受験算数で出る!!直角三角形はコレだ♪


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