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2015年度 愛光中学校 算数 【1 】(10) 数列・周期性

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2015年度 愛光中学校 算数 【1 】(10) 数列・周期性の解答解説です。

問題文は、四谷大塚ドットコム 中学入試過去問データベース よりダウンロードして下さい。
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1. 数列の規則性を考える

1.1 書き写す

数列の問題は、ただ眺めているだけでなく、5回ぐらい書き写すようにと、子どもには教えています。

では、頭の中の独り言を再生しながら、書き写してみましょう。

2, 2, 4

2 が 連続ででているなぁ… その後に 4 か… ということは、2+2=4 もしくは 2\times2=4の可能性があるな。

2, 2, 4, 2

また 2 !? ということは、前の2つを和が次に来る。 前の2つの積が次に来る。 というさっきの推測は違うな…

2, 2, 4, 2, 4, 6

4 が 繰り返し 出てきたぞ、そして 6。 6 の 2つ前(2, 4)の和が6だな…

2, 2, 4, 2, 4, 6, 2

また 2 !? よくわからないなぁ…

2, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 8, 2, 4. 6, 8, 10, 2, 4, \cdots

どういうことだ?? 5回は書け!! って言われているから、書いてみよう。

2, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 8, 2, 4. 6, 8, 10, 2, 4, \cdots
2, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 8, 2, 4. 6, 8, 10, 2, 4, \cdots

って…

2 を書いて、次に2, 4 を書いて、次に 2, 4, 6を書いてるんじゃない!?

偶数を2から書き始めて、どんどん増やしていってるのかな!?

その次は、 このルールが正しければ、2, 4, 6, 8 その次は、2, 4, 6, 8, 10 となるはず。で、問題文はその通りになっている!! ということは、このルールが正しい。やったね♪

となります。

1.2 書き写す理由

センスと言ってしまえば、それまでなのですが…

例えば、「今日の午後の天気は晴れ時々くもり。気温は17度。」という文章を書き写す時は、「今日の」までを一旦見て、「今日の」と書き写すと思います。「今」で区切って、一文字づつ書き写す事はしないと思います。

算数の数列でも一緒で、この問題のようなある一定の繰り返しを持った数列では、何度か書き写すうちに、頭の中で覚えやすい(=再生しやすい)区切りで、区切るように、頭が勝手にしてくれます。

この問題では、2 が キーポイントとなって、書き写す時に、2から始まる並びに周期性がある ということに気づきます。

受験算数をしていると、

  • 等差数列
  • 等比数列
  • その応用

といった、名前のついた数列に目が行きがちですが、この問題のような 周期性のある数列を見つける場合に、5回書き写す方法は、効果的です。

慣れてくると、子どもの方が頭が柔らかいので、私より先に周期性を見つけたりもしますね。( 負けるな!! Papa  と、自己応援w)

2. 問題に当てはめる

2.1 さらに規則性を見つける

2から始まる、ひとかたまりをBOX(名前)に入れて、BOXに左から順に 1, 2, 3, ・・・ と名前をつけます。

2015年度愛光中学校算数過去問1-10

最初の2はBOX(1)に入っている。次の(2,4)はBOX(2)に。次の(2,4,6)はBOX(3)に入っているイメージです。

ここで、2つのことがわかります。

  • BOXの名前と、入っている数字の数は一緒
  • BOX内の最後の数字は、BOXの名前の2倍の数

BOX(5) を例に取ると、

  • BOXの名前は5。入っている数字は、2, 4, 6, 8, 10 の 5個
  • BOX内の最後の数字は 10。BOXの名前 5 × 2 = 10。

2.2 初めて20が現れるのは?

初めて20が現れるので、BOXの最後が20になっているBOXの名前を探します。

BOX内の最後の数字は、BOXの名前の2倍の数であることを利用して、BOXの名前を計算すると、

20\div2=10

よって、BOX(10)の最後の数字が 20となります。
では、BOX(10)の最後の数字は何番目でしょうか??

いきなり解くのではなく、問題文に書かれている BOX(5) を見てみると…

  • 初めて10が現れるのは、BOX(5) の最後。
  • 10が左から何番目? かというと、それまでのBOXに入っている個数の和
  • BOXに入っている個数 は、BOXの名前と一緒。

よって、初めて10 が現れるのは、(1+2+3+4+5)番目であることがわかります。
このように、簡単な数字であたりを付けておくと、その後の計算に自信が持てます。

では、初めて20が現れるのは、BOX(1) から BOX(10) までの個数の和になりますから、

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55番目となります。

2.3 等差数列の和の計算方法

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 の計算方法ですが、

1から10までの和が 55 であることは、覚えておいても損はないと思います。

また、

2015年度愛光中学校算数過去問1-10

和が10のまとまりを見つけて、10が5つ と 残り 5。 10\times5+5=55でも良いと思います。

しかし、次の問題を解くためにも、知っておきたい知識は、

2015年度愛光中学校算数過去問1-10

ということです。1+10, 2+9, \cdots と、それぞれの和は11 になります。
その11が10個あるので、

11\times10=110

これは、元の数列の2つ分なので、求める数列の和は、

110\div2=55

となります。公式化すると、

{ (先頭の数) + (最後の数) } × 数の個数 ÷ 2

ですが、あまり 公式を覚えなさい。というのは 好きではないので… やり方を知っていれば良いと思います。(※ 公式を覚えさせる事と一緒かな…)

3. 左から818番目は?

3.1 適当にアタリを付ける

適当に!? と 思うかもしれませんが、ヤミクモに考えても答えは出てきません。また、算数的に美しい解答もあるでしょうが、時間の限られた試験においては、とりあえず 分かっている知識でやってみることが重要です。

では、どのように アタリ をつけるのでしょうか??

先ほどの問題から BOX(10) の最後は 55番目であることがわかっています。

そこで、キリの良い BOX(20), BOX(30), BOX(40), BOX(50) … を考えてみましょう。ここで、

{ (先頭の数) + (最後の数) } × 数の個数 ÷ 2 を利用します。

  • BOX(20) → (1+20)×20÷2=210
  • BOX(30) → (1+30)×30÷2= 計算面倒なので、後回し
  • BOX(40) → (1+40)×40÷2=820

おおっと!! 問題文の 818番にかなり近い数字が出てきましたね。よって、BOX(40)を考えましょう。
※ ちなみに BOX(40) が、例えば 1200とか 818を大きく超えてしまった場合は、BOX(30)を計算して、近い方を採用します。

BOX(40) の最後の数は、

40\times2=80

この 80 が 820番目 なので、818番目は、書き出していくと、

2015年度愛光中学校算数過去問1-10

76であることがわかります。

3.2 問題作成者の意図

適当にやって正解できたのはたまたまでしょ? とお思いかもしれませんが、そうです たまたま です(笑)

ですが、問題作成者も、問題の解き方がわかっていて理論的に考えることが出来ている子どもたちは、たまたま 出来るような 数値設定にしてあります。

763番目は何? という問題を作成することも可能ですが、763番目を求めるには、上記のような理論的な考え方を行った上で、さらに 細かい数値計算 をしなければ 正解を導き出すことができません。

愛光の大問1は、答のみ を書く出題形式です。

763番目 という、細かい数値計算が必要な問題にしてしまうと、答えが違っている受験生の中には、

  • 理論的に全くわかっていない
  • 理論的には分かっているが、細かな計算を間違えた

の2種類の間違い(他にもありますが)が、混在することとなります。ですが、愛光側がこの問題で試したいのは、

理論的に分かっているかどうか であって、細かな計算 ではないと思います。(あくまで 私の主観です…)

なので、理論的にわかっていて数値を当てはめていけば、たまたま正解になる数値設定にしてあります。

逆に、理論的にわかっていなければ、適当に答えてもたまたま正解にはなりません。

こういう所が、問題作成の面白さでもあり、やっぱり 有名校の問題は面白いなぁ… とも 思いますね。


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