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円すいの展開図、中心角の公式を知って5秒で解こう♪

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例題

円すいの展開図の中心角を求めなさい。円周率は3.14とします。
円すい 展開図 中心角を求める

公式を使った解答

公式

円すい 展開図 中心角を求める
母線の長さを R、底面の円の半径の長さを r とすると 求める中心角 θ°は、
円すい 展開図 中心角の公式
となります。

解答

公式より、求める角度は
ensui018

さてさて、この問題は この公式を覚えていないと、計算出来ないのでしょうか?
公式を使わないで、解いていきましょう♪

公式を使わずに、おうぎ形の弧の長さ、底面の円周の長さに注目する

この展開図に色を付けます

おうぎ形には青色底面は赤色をつけました。
円すい 展開図 中心角を求める

この展開図から出来る円すいの形(立体図)

ensui003
青い部分に注目すると
円すい 側面
赤い部分に注目すると
円すい 側面
となります。
ここで、青い線赤い線は 立体では同じ場所・長さとなります。

実際に手を動かしてみよう!!

※ 拡大したPDFファイルを添付しますので、プリントアウトをして、実際に作ってみてください。
※ 映像などで見るより、実際に手を動かすことが大事ですよ♪
ダウンロードはこちらから → 円すい展開図.pdf

赤い線の長さを求める

円の円周の長さですので、
円すい 底面の円周
となります。

青い線の長さから、おうぎ形と元の円の割合を求める

側面のおうぎ形の青い線の長さは、赤い線と同じ長さなので 3×2×3.14 cm である。
また、このおうぎ形の元となった円(半径5cm)の円周の長さは、
おうぎ形の元の円
ensui012
である。
このことから、おうぎ形の 弧の長さは 元の円周の、
ensui014
となります。
おうぎ形の弧の長さが 元の円周の\frac{3}{5}となっていることから、この おうぎ形の中心角は元の円の中心角(360°)の\frac{3}{5}となります。
※ 面積も、元の円の\frac{3}{5}となります。

よって 求める中心角は

ensui018 となり、結果的に 公式を使った場合と同じ式 となります。

円すい展開図・中心角の公式 の求め方

数学を理解している パパとママ向けに解説していきます。

円すい展開図・中心角の公式 の求め方

円すい 展開図 中心角を求める
底面の円周の長さ l (スモール エル)は、
ensui015
おうぎ形の元となった円周の長さ L (ラージ エル)は、
ensui016
よって 求める 中心角は、
ensui017
となります。
ここでは、側面の 弧の長さ と 底面の円周が 同じ長さであることを利用して、おうぎ形が元の円に比べて どの程度の大きさか? を求めています。

まとめ

いつも、言っていますが… 「あまり、公式を覚えろ!!」 っていうのは 好きではないので、中心角の求め方を教えて、問題を何問も解いてもらいたいと思っています。

公式だけを何回も見ているよりも、実際の問題をやっているうちに、「気づいたら なんとなく公式を使っていた。」ぐらいが良いと思っています。

そして、自由に使えるようになれば、タイトル通り 5秒で 解けるようになると思いますよ♪ 360の計算時間によりますが…


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