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円すいの展開図、表面積の求め方!公式があるの知っていますか?

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例題

この円すいの表面積を求めなさい。円周率は3.14とします。
円すい 側面積の問題

公式を使った解答

公式

円すい 側面積の公式母線の長さを R、底面の円の半径の長さを r とする。
表面積とは、青色のおうぎ形の面積赤色の底面の円の面積の合計となります。
表面積 S を求める公式は、
円すい 展開図 表面積の公式となります。

解答

公式より、求める表面積は
円すい 展開図の表面積 問題解答

さてさて、この問題は この公式を覚えていないと、計算出来ないのでしょうか?
公式を使わないで、解いていきましょう♪

公式を使わずに、側面のおうぎ形と、元となる円に比べる。

青い線の長さから、おうぎ形と元の円の割合を求める

側面のおうぎ形の青い線の長さは、底面の赤い線と同じ長さなので 3×2×3.14 cm である。
また、このおうぎ形の元となった円(半径5cm)の円周の長さは、
おうぎ形の元の円
ensui012
である。
このことから、おうぎ形の 弧の長さは 元の円周の、
ensui014
となります。
おうぎ形の弧の長さが 元の円周の\frac{3}{5}となっていることから、この おうぎ形の面積は元の円の面積の\frac{3}{5}となります。

詳しくは、円すいの展開図、中心角の公式を知って5秒で解こう♪で解説しています。

求める表面積を計算していきましょう

おうぎ形の面積は、(半径)×(半径)×(円周率)×(割合)
円すい 展開図 おうぎ形の面積底面の円の面積は、(半径)×(半径)×(円周率)
円すい 展開図 底面の面積 その合計となる、表面積は、
円すい 展開図 表面積問題解答 となり、結果的に 公式を使った場合と同じ式 となります。

円すい展開図・表面積の公式 の求め方

数学を理解している パパとママ向けに解説していきます。

円すい展開図・表面積の公式 の求め方

円すい 展開図 中心角を求める
底面の円周の長さ l (スモール エル)は、
ensui015
おうぎ形の元となった円周の長さ L (ラージ エル)は、
ensui016
l と L の長さより、おうぎ形の元の円に対する割合は、l と L の長さの割合を比べとわかるので、
円すい 公式 となります。
よって、側面積の大きさは、元の円の面積\pi R^2\frac{r}{R}をかけて
円すい 展開図 側面積の公式底面の円の面積は、
円すい 展開図 底面積求める、表面積は、(側面積)+(底面積)であるから、
円すい 展開図 表面積の公式となります。

まとめ

この問題だけでなく、円すい展開図の問題のポイントは、

側面のおうぎ形は、元となる円の
円すい展開図ポイントの割合となっていることを、公式を覚えるのではなく、自分で導き出せるか? です。

これが わかっていれば、公式を忘れても。そして、公式自体を知らなくても、円すいの問題をとくことができます。

ですので、公式を覚えるより、自分で導き出す力をつけてくださいね♪


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