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高さの分からない円すい展開図!どうやって立体の体積を求めるの?

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例題

次の展開図から出来る円すいの体積を求めなさい。
円すい 側面積の問題

円すいの公式のおさらい

公式

円すい体積の公式円すいの高さを h、底面の円の半径の長さを r とすると 求める円すいの体積Vは、
円すいの体積の公式 となります。

この公式を利用して問題を解きましょう

展開図から、円すいを想像する

求める円すいの体積を考えましょう。問題の展開図から出来る、円すいは、
円すい体積

となります。
あれれ… どこにも高さがありません…
どうしたらよいのでしょうか??

円すいの高さを求めるには?

図の赤い直角三角形に注目する

この円すいの赤い部分に注目します。
円すいの体積
中学受験によく出る直角三角形
この直角三角形を見て、高さが分かりますか?

中学受験算数によく出る直角三角形のおさらい♪

詳しくは、三平方(ピタゴラス)の定理を証明♪中学受験算数で出る!!直角三角形はコレだ♪で解説をしています。

三角定規 の 直角三角形

pythagorean017
√2 及び √3 は参考程度です。三角定規の直角三角形は よく出題されますので、角度も含めて覚えておいてくださいね♪

知ってて損はない 直角三角形

pythagorean018
中学受験ですので、このような 整数での 直角三角形がよく出題されます。
345 の 三角形は覚えておいて欲しいですが、他の2つは そんなのもあるんだぁ~ 程度で良いかなぁ と 思います。

今回の問題の 直角三角形は、中学受験算数によく出る直角三角形 の 345の直角三角形 となっています。

よって、今回求める、円すいの高さは 4 cm となります。

円すいの体積を求めよう

公式に当てはめて

円すいの体積問題解答

1/3を かける 意味って何??

いつも、このサイトでは、公式を覚えるのではなく、意味を覚えて下さね♪ と言っていますが…

円すいの体積の公式に関しては、覚えて下さい!!

同じ底面積の円柱の 1/3 になるというイメージを持って欲しいのですが…

なぜ 1/3 ??と言われても、小学生には説明が難しいです。

参考までに、積分が分かる Papa & Mama 向けに解説しますね♪

積分から円すいの体積を求める

底面の半径 r , 高さが h である円すいを求める時に、y = ax グラフを 考える。
円すい体積の公式なぜ1/3なのか
このグラフを x軸を中心に回転させると
円すい体積の公式なぜ1/3なのか
底面の半径が ah = r , 高さが h である円すいとなる。
高さが、x の時、底面の面積 S_bottom は、
円すい底面積の公式
となり、求める円すいの体積は、S_bottomを 0 ~ h で定積分すると求められる。
よって 求める円すいの体積 V は、
円すい体積の公式積分
この 積分した時に出来る 1/3 が、公式の 1/3 の正体となります!!
ですが… これは 小学生には教えられませんね…

まとめ

円すいの体積は、公式を覚えてくださいね♪


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