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逆比とは、比を逆にすればいいの?

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例題

2:3 の 逆比は何ですか?

逆比の事を知っている、子どもならすぐに「3:2 だよ!」と解答すると思います。もちろん、「正解!」です。

逆比ってなんだろう?

逆比って前項と後項を逆さまにする! つまり、

a : b の 逆比は b : a となります。

わかりやすいですね。でも、それだけで良いのでしょうか??
子どもたちが陥りやすい間違い例を見ながら、逆比の本質について考えていきましょう。

例題

(1) 面積が同じ長方形A, Bがあります。Aの縦の長さ と Bの縦の長さの比が、1 : 2 である時、AとBの横の長さの比を求めなさい。
(2) 面積が同じ長方形 A, B, Cがあります。A, B, C の順に 縦の長さの比が 1 : 2 : 3 である時、横の長さの比を求めなさい。

考え方

面積が同じ長方形の場合、縦の長さの比と、横の長さの比は 逆比 となります。

子どもの答え(例)

(1) 面積が同じ長方形の場合、縦の長さの比と、横の長さの比は 逆比 となるので、横の長さの比は 2 : 1 … Ans.
(2) 面積が同じ長方形の場合、縦の長さの比と、横の長さの比は 逆比 となるので、横の長さの比は 3 : 2 : 1 … Ans.

どうでしょう、合っていますでしょうか? では、答え合わせです。

解答

(1) ◯
(2) ✕ 横の長さの比は 6 : 3 : 2

あれれ… なぜ、(2)の問題を間違えてしまったのでしょうか?

(2)の考え方と解法

一度、「面積が同じ長方形の場合、縦の長さの比と、横の長さの比は 逆比 となる。」事を忘れてみましょう!
長方形の面積を1とします。 ・・・ 1にする。というのは、仕事算でも使う魔法の言葉ですw
Aの縦の長さが1なので、Aの横の長さは 1(面積) ÷ 1(縦の長さ) = 1(横の長さ)
Bの横の長さは 1 \div 2 = \frac{1}{2}
Cの横の長さは 1 \div 3 = \frac{1}{3}
よって求める A, B, C の横の長さの比は、
 1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2 …Ans.

つまり、逆比とは、逆数の比と考えるのが正解♪

そうなんですよ。ついつい、逆比と言うと a : b をひっくり返して b : a と単純にしてしまいますが、実は

逆比のポイント!!

a : b の逆比は \frac{1}{a} : \frac{1}{b} です!

この式を見やすくすると、

\frac{1}{a} : \frac{1}{b} = \frac{1}{a} \times ab : \frac{1}{b} \times ab = b : a

となり、ようやく見慣れた、前後を変えるっていう比になっています。しかし、本質的に逆比とは、逆数の比であることを知っておいてくださいね。

連比の逆比

a : b : c の逆比は
\frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \frac{1}{a} \times abc : \frac{1}{b} \times abc : \frac{1}{c} \times abc = bc : ac : ab
となります。
※ 公式じゃないですよw この式を覚えるのではなく、考え方を知っておいてくださいね♪

で、逆比って何に使うの??

そうなんですよw じゃぁ、実際何に使うか? と言えば…

  • 速さとかかる時間の問題
  • 食塩水の問題
  • 面積の問題
  • 単位量の問題 etc…

と、「逆比」を知っていると、色々と簡単に解くことができますよ♪ 個別の問題は、また別途紹介しますね♪


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