スポンサードリンク

中学受験 過不足算の問題!線分図と面積図を使い分けよう♪

スポンサードリンク Ads by google

過不足算問題

みかんを一箱買ってきました。何人かの友だちに、1人3個ずつあげると、6個余り、1人に5個ずつあげると10個不足しました。一箱にみかんは何個入っていたのでしょうか?

差集算は、差を集めることで解答しましたが、過不足算では余りと不足の両方が出てきました。

まずは 一般的な線分図を書いていきましょう♪

一般的な線分図を描いて解答しよう

基本となる線分図

過不足算 線分図
何人に配るかわからないので、配る人数を\Box人と仮定します。
3個ずつ配る場合の、線分図は、3 \times \Boxと余った6個を足した長さとなり、これは 一箱分のみかんの数となります。
5個ずつ配る場合の線分図は、5 \times \Boxの長さとなり、一箱分のみかんの数は、その長さから足りない10個分を引いた長さとなります。

3個ずつ配る場合と、5個ずつの時の差に注目

3個ずつ配る場合と、5個ずつ配る場合では、1人がもらえる数の差5 - 3 = 2個となります。
過不足算 線分図
線分図より、\Box人に3個ずつ、5個ずつ配った時の差は、6 + 10 = 16個となり、この 16個という数は、1人がもらえる数の差 5 - 3 = 2個の集合体となります。
よって、16個の差ができる 人数\Boxは、
16 \div 2 = 8
よって、一箱に入っていたみかんの数は、
(3個配ったことから計算すると) 3 \times 8 + 6 = 30
(5個配ったことから計算すると) 5 \times 8 - 10 = 30
となります。※ 実際にはどちらか一方の計算をすればよいです。

以上が、塾などで習う一般的な差集算の解答方法となります。こちらの考え方で解ければ、もちろん問題無いのですが、面積図を使った解法を解説します。

過不足算を面積図で解く!

掛け算の答え(積)は、長方形の面積となる

例えば、3 \times 2 = 6 の式は、縦3cm、横2cmの長方形の面積6cm^2を示しています。
今回は、人数を\Box人と仮定して、横辺とします。また 縦辺は、1人に配った数3事して面積図を書きます。
過不足算 面積図
今回、1人に3個ずつ配ると6つ余りますので、一箱に入っているみかんの数は3 \times \Box + 6となり、赤い長方形の面積となります。

5個ずつの面積図

過不足算 面積図
横辺は変わらず\Box人。縦辺を5個にします。
ここで、黄色の大枠が5 \times \Boxと配るべきみかんの総数になりますが、一箱に入っているみかんの数は、配る総数より10こ少ないので、10個分を青一箱に入っているみかんの数を赤とします。
この赤い長方形の面積は、先ほど3個ずつ配った時の赤い長方形の面積と同じになります。(両方の面積ともに、一箱に入っているみかんの数を表しているから)

2つの面積図を重ねてみよう!

過不足算 面積図
先ほどの図を重ねてみましょう。
赤い長方形が重なり合い、重なった部分を緑色で塗ってあります。
この 面積図から何を読み取るかと言いますと… 右側の赤い長方形(面積:6個)と下の赤い長方形(面積:不明)は同じ面積である!
これは、同じ面積の長方形から、同じ面積の緑の長方形を引いた部分にあたるからです。
過不足算 面積図
よって、下の赤い長方形の面積は 6青い長方形の面積は 10 であり、合わせた面積は6 + 10 = 16となります。
また、この2つを合わせた長方形の縦辺は、5 - 3 = 2であるため、配るべき人数 \Box = 16 \div 2 = 8人となります。
よって、一箱に入っていたみかんの数は、
(3個配ったことから計算すると) 3 \times 8 + 6 = 30
(5個配ったことから計算すると) 5 \times 8 - 10 = 30

差集算のまとめ

結局、線分図を使っても、面積図を使っても、計算式は

( 10 + 6 ) \div ( 5 - 3 ) = 8 \\ 3 \times 8 + 6 = \underline{30...Ans.}

となり、同じです。
なので、どちらで解いてもOKですので、お子さんが理解しやすい方で教えてあげて下さい。
旅人算が得意でしたら、線分図がわかりやすいと思います。旅人算が苦手で、1人に付き2個ずつの差が集まったら16の差がでた。という考え方が理解し難いようでしたら、面積図が良いかもしれません。
問題や子どもたちの理解度によって、線分図や面積図のどちらが理解しやすいか? は 変わってきますので、どちらでも解答できたらOK♪ ぐらいで良いかなぁ と思っています。


あわせて読みたい! 過不足算のおすすめ記事