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2019年 開成中学 算数入試【1】

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1.問題文

K君は、自宅からおばさんの家まで、スイカ2つを一人で運ぶつもりでした。ところが、弟のS君が「ぼくも手伝う!」と言ったので、次のようにしました。

  1. K君とS君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。
  2. K君の方がS君より進む速さが速いので、おばさんの家に先に着く。そこで、すぐにスイカを置いて、S君に出会うまで引き返す。
  3. K君は、S君に出会ったらすぐにS君からスイカを受け取り、すぐにおばさんの家に向かう。

ここで、K君の進む速さは

  • スイカを2つ持っているときは 毎分 60m
  • スイカを1つ持っているときは 毎分 80m
  • スイカを持っていないときは 毎分 100m

です。

スイカ2つを運び終えたK君がおばさんの家で休んでいると、後から追いかけてきたS君が到着しました。

S君 「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」
K君 「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、そうするのに比べて、\frac{15}{16} 倍の時間で運び終えられたからね。ありがとう!」
S君 「ほんと!? よかった!」

次の問に答えなさい。

  1. K君が一度目におばさんの家に着いてから、二度目におばさんの家に着くまでの時間は、K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の何倍ですか。
  2. 引き返したK君がS君に出会った地点から、おばさんの家までの距離は、自宅からおばさんの家までの距離の何倍ですか。
  3. S君がスイカを1つ持って進む速さは毎分何mですか。

開成中学 2019年 算数入試問題より引用

2. 解答解説

いきなりの適性試験的な出だしで、戸惑いますが… 大学入試改革に合わせた出題でしょうか!? K君は開 君、S君は 成 君 で 開 成 の K S かな? とも思ったり(笑)

ただ、内容は典型問題ですので、一つ一つ解いていきましょう

3. 1) K君の2つと1つの時間比較

3-1. 問題を図で表してシンプルにしよう♪

問題文を可視化して図に表すことが大事です。

開成2019年算数 [1](1)_1

ここで、問題は、

”K君が一度目におばさんの家に着いてから、二度目におばさんの家に着くまでの時間は、K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の何倍ですか。”

つまり、図の 短い青色短い赤色「かかった時間」の和は、緑色の「かかった時間」の何倍ですか? ときいています。

3-2. スイカ2個 と スイカ1個で比べよう

ポイントは、

  • 自宅からおばさんの家までの距離は等しい
  • スイカ2個だと 60m/分
  • スイカ1個だと 80m/分

この 3つの条件から スイカ1つの場合は、スイカ2つに比べて、速さが、80 \div 60 = \frac{80}{60} = \frac{4}{3} 倍になってる事がわかります。

速さが \frac{4}{3}倍 という事は、同じ距離にかかる時間は 逆数\frac{3}{4}倍となります。

3-3. 問題文の時間を求める

全行程が スイカ2個の場合に比べて 問題文より、\frac{15}{16} 倍になっているので、先程逆数を使って求めたスイカ1つを運んだ時間を引くと

\frac{15}{16} - \frac{3}{4} = \frac{3}{16}

よって、(1) の答えは \frac{3}{16} となります。

4. 2)も速さの逆数を考える

開成2019年算数 [1](1)_1

おばさんの家からS君に出会うまでの距離 と 出会ってからおばさんの家までの距離は等しくなります。(図を見たら一目瞭然ですね)

速さの比が、100 : 80 = 5 : 4 なので、同じ距離にかかった時間の比は、逆比となり、4 : 5 となります。

4-1. 1) の問題はヒント

おばさんの家から S君に出会った場所の往復にかかった時間は、1) の解答より  \frac{3}{16}であるから、

K君がS君と出会ってからおばさんの家に行くまでの時間は、

$latex \frac{3}{16} \times \frac{5}{4 + 5} = \frac{5}{48}$ となります。

  • 自宅からおばさんの家まで スイカ1個を運ぶ時間 \frac{3}{4}
  • S君と出会ってからおばさんの家までスイカ1個を運ぶ時間 \frac{5}{48}
  • どちらも 速さは 80m/分で一定

速さが等しいので、時間の比と、距離の比は等しくなります。
よって 求める距離は、2つの時間の割合より、\frac{5}{48} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{36}倍 となります。

5. 大胆に仮定する

2)の答えが、 \frac{5}{36}となりましたので、算数の魔法の言葉を使って、

自宅からおばさんの家まで 36 とする!!

よく 仕事算などで、「全体を1とする」と同じ感覚です。今回は 2)の答えの分母が 36でしたので 36と仮定しました。

5-1. K君がS君に出会うまでの時間

開成2019年算数 [1](1)_1

K君が自宅からおばさんの家まで1回目にかかった時間は、

36 \div 80 = \frac{9}{20}

K君がおばさんの家からS君と出会った時間は、

36 \times \frac{5}{36} \div 100 =  \frac{1}{20}

よって、K君が 自宅からS君に出会うまでの時間は

\frac{9}{20}  + \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \cdots A

5-2. S君がK君に出会うまでの時間

S君がK君と出会った場所は自宅から 36 \times \frac{36 - 5}{36} = 31であり、

先程の Aの式より S君がK君に出会うまでの時間は $latex  \frac{1}{2}$

よって、S君が スイカ1個を持って進む速さは、

31 \div frac{1}{2} = 62 m/分 となります。

6. まとめ

  • 同じ距離の場合、かかった時間の比と、速さは、逆比となる
  • 速さが同じであれば、かかった時間の比と距離の比は等しい

といった、速さと比に関する基本的なことが重要です!!

あくまでも、個人の解答例となりますので、答え 及び 解答は信頼できる塾等でご確認くださいますよう、よろしくお願い致します。


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