スポンサードリンク

2019年 開成中学 算数入試【2】立体図形

スポンサードリンク Ads by google

1.問題文

次の図のような直方体 ABCD-EFGH があります。また、辺CD, EF, GC 上にそれぞれ点P, Q, R があり、DP = 8cm, PC = 12cm, EQ=4cm, CR =9cm が成り立っています。

ka開成2019年算数 [2]問題( 単位はcm )

3点 P, Q, R を通る平面でこの直方体を切断し、切断したときにできる切り口の図形を X とします。

図形 X を前から見ると ( 面 ABFE に垂直な方向からみると )、面積が 228cm^2 の図形に見えます。
図形 X を上から見ると ( 面 ABCD に垂直な方向から見ると ) 、面積が 266cm^2 の図形に見えます。

開成2019年算数 [2]問題 このとき、次の問に答えなさい。

  1. 図形 X は何角形ですか。
  2. 直方体の高さ ( 辺 AE の長さ ) は何cmですか。
  3. 直方体の奥行き ( 辺 AD の長さ ) は何cmですか。

開成中学 2019年 算数入試問題より引用

2. 図形Xの形

2-1. わかっている線から引く

まずは、問題文に提示されている 線PR を引きます。

面 CDHG 上に 線PR が引けました。ここで、立体図形 切断の基本!!

平行な面には、平行な線を引く!!!

開成2019年算数 [2](1)解説

△PRCは 辺の長さが、12 : 9 = 4 : 3 の直角三角形です。線PRと平行な線を引くために 4 :3 の直角三角形 SEQ となる 点S を置き、線PRと平行な線SQを引きます。

3-2. イメージを膨らませて切る

開成2019年算数 [2](1)解説

この問題では、奥行きと高さはわかりませんので、大体のイメージで 点T と 点Uを置き作図します。

この図から、図形Xは 六角形 であることがわかります。

3. 2) 前から見た図を作図しましょう

3-1. まずは書いてみる

  • 点Tは 辺AD上にあるので 前から見た時、点Dに重なって見えます
  • 点Uは 辺FG上にあるので 前から見た時、点Gに重なって見えます

と… 書いてしまえば簡単なのですが、どうしても 人間の目(立体視)から見ると、正面から見ても 点T や 点U で曲がって見えてしまうという 錯覚が…

真正面から カメラで撮った画像の面積を求める、という イメージができれば わかりやすいかもしれません。

開成2019年算数 [2](2)解説

この図がかければ、簡単です。

  • 問題文より 多角形TSQURP は 228cm^2
  • \triangle{SEQ} = 6cm^2
  • \triangle{PRC} = 54cm^2

よって \square{TEUC} = \square{ABFE} = 228 + 6 + 54 = 288cm^2

AB = 8 + 12 = 20cm であるから、求める 辺AEの長さ (直方体の高さ)は、

AE = 228 \div 20 = 14.4cm … (Ans.)

4. 3) 上から見た図

4-1. わかるところを書いていく

開成2019年算数 [2](3)解説

  • 点Sは、辺AE上にあるため、上から見た場合、点Aと重なって見えます
  • 点Rは、辺CG上にあるため、上から見た場合、点Cと重なって見えます

(2)の問題と違うのは、線DT と 線BU の長さがわからないことです

4-2. 立体切断問題の定石→辺を伸ばす

立体切断問題での定石である、切り取られた断面図の辺を伸ばします

開成2019年算数 [2](3)解説

計算に必要な情報だけ抜粋します

4-3. 面DCGHが含まれる 平面に注目

開成2019年算数 [2](3)解説

(2)の答えである 14.4cm も書き入れます。線RG = 14.4 – 9 = 5.4cm

相似形を見つけます

チョウチョ(リボン)の形から、△LDP ∽ △RCP ∽ △RGN

開成2019年算数 [2](3)解説

よって、線LD = 6cm , 線GN = 7.2cm とわかります

4-4. 面AEHDが含まれる平面に注目

開成2019年算数 [2](3)解説

△SME ∽ △LMH であるから

\overline{SE} \colon \overline{LH} = 3 \colon ( 6 + 14.4 ) = 3 \colon 20.4 = \overline{ME} \colon \overline{MH}

\overline{ME} \colon \overline{EH} = 3 \colon (20.4 - 3) = 3 \colon 17.4

開成2019年算数 [2](3)解説

△LTD ∽ △SME であるから

\overline{TD} \colon \overline{MH} = \overline{TD} \colon 20.4 = \overline{LD} \colon \overline {LH} = 6 \colon 20.4

\overline{TD} = (6) , \overline{AT} = (17.4) - (6) = (11.4)

\overline{AT} \colon \overline{TD} = 11.4 \colon 6 ・・・式(1)

4-5. 面HEFGが含まれる平面に注目

開成2019年算数 [2](3)解説

△GUN ∽ △HMN より

7.2 \colon ( 7.2 + 20 ) = \overline{GU} \colon ( 3 + 17.4 )

\overline{GU} = (5.4), \overline{FU} = (17.4) - (5.4) = (12)

\overline{FU} \colon \overline{UG} = 12 \colon 5.4 = 20 \colon 9

開成2019年算数 [2](3)解説

4-6. 上から見た図に書き加えると

開成2019年算数 [2](3)解説

20 × [29] – [10] × 8 ÷ 2 – [20] × 16 ÷ 2 = 266
[1] = 0.7
∴ 辺AD(奥行き) = [29] = 0.7 × 29 = 20.3cm … (Ans.)

6. まとめ

  • 立体の切断は平行な面には、平行な線を引く!!!
  • 切り取った図形の辺を伸ばし、片っ端から相似を計算!!!

といった、立体図形の切断に関する基本的なことが重要です!!

あくまでも、個人の解答例となりますので、答え 及び 解答は信頼できる塾等でご確認くださいますよう、よろしくお願い致します。


あわせて読みたい! 立体図形のおすすめ記事