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2019年 開成中学 算数入試【3】移動経路

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図1. 空間内での移動経路

図1.1 典型的な移動経路問題

( 問題文より 抜粋 )

空間内または平面上にひかれた道を選んで、点Aから点Bまで移動するとき、その移動経路が何通りあるかを考えます。

(1) 開成2019年算数 [ 3](1)解説

一辺の長さが1の立方体を4個組み合わたものです。図の太線が、通ることが出来る道です。点Aから点Bへの最短経路は、何通りありますか。

開成中学 2019年 算数入試問題より抜粋し引用

実は、問題文章はもっと長いです… ですが、必要な情報を抜き出すと上記になります。出題分が 近年、長文化しています。問題文を正確に読み取る力を求めていると思いますが、こちらは「解説ページ」ですので、正しい問題は別途ご用意ください。

図1.2 太線だけを取り出す

わかりやすくるために、通ることが出来る太線だけを書き出します。

開成2019年算数 [3](1)解説

すると… 多少変形していますが、典型的な移動経路を求める問題であることが、わかります。

一つ一つの交差点に、点Aから順番に、考えられる経路数を書いていくと

開成2019年算数 [3](1)解説

10通りの経路があることがわかります。

図2. 空間内での移動経路 その2

開成2019年算数 [3](1)解説

開成中学 2019年 算数入試問題より抜粋し引用

先ほどの問題と同様に、必要な道筋だけを取り出します

開成2019年算数 [3](1)解説

奥行きがありますので、最短距離として移動に使うことが出来る経路は、

開成2019年算数 [3](1)解説

右→上↑奥↗ の3種類となります。

【Point!!】 平面の経路と違い、右→上↑奥↗ 3方向から交わる交差点があることに注意!!

開成2019年算数 [ 3](1)解説

点Aから順に経路数を書いていくと… 答えは 18通り

図3. 例題を解く

次のような規則に従ってこれらの道を通り、点Aから点Bまで移動することを考えます。

規則「一回だけ左に1進み、それ以外は右または上に進む」

また、規則に従うかぎり、同じ道を2回以上通ることも可能です。
この時、《図3》の点Aから点Bまでの移動経路は10通りあります。

開成2019年算数 [3](2)解説《図3》

【Point!!】 規則から「1回のみ左に1進む」事が義務付けられています。この「左に1」をどこで行うか? を 場合分けして考えましょう!!

図3-1. 下段で「左← 1」

下段で「左← 1」の移動を行うには、に一旦行かなくてはなりません。

開成2019年算数 [3](2)解説
最初にAからに行くための最短移動経路数 は A→★ の 1通りとなります。

ここで、「下段で 左←1 移動」を行うと、に移動します

開成2019年算数 [3](2)解説

あとは、から点Bまでの 最短移動経路を求めます

開成2019年算数 [3](2)解説

これで、「下段で 左←1」のときの最短移動経路は 3通り

図3-2. 中段で「左← 1」

中段で「左← 1」の移動を行うには、に一旦行かなくてはなりません。

開成2019年算数 [3](2)解説

点Aからまでの移動経路は、2通りあります。

開成2019年算数 [3](2)解説

ここで、「左←1 移動」を行うと、に移動します
から への移動は 1通りしかありませんので、点A → の移動経路数は 2通りとなります。

再出発点 (ここまでの 経路数は 2)から点Bまでの 移動経路を求めると、

開成2019年算数 [3](2)解説

よって、「中段で 左←1」のときの最短移動経路は 4通り

図3-3. 上段で「左← 1」

上段も同様に行っていきます

開成2019年算数 [3](2)解説

  1. (左図) 上段で「左← 1」を行うため、一旦へ行く経路数を求める・・・3通り
  2. 「左←1」移動し、点A → → 再出発点への経路数を求める・・・3通り
  3. 再出発点から点Bへの経路数を求める・・・3通り
  4. 点A → 最短移動経路は 3通り

3-4. 図3例題の答え

  • 3-1. 下段で「左← 1」移動 ・・・ 3通り
  • 3-2. 中段で「左← 1」移動 ・・・ 4通り
  • 3-3. 上段で「左← 1」移動 ・・・ 3通り

よって、規則に従って点Aから点Bへの最短移動経路数 は 3 + 4 + 3 = 10通り…(Ans.)

図3 の 例題からわかること (マイ・ルール)

  • どこで規則「左←1移動」を1回使うか? で場合分け
  • 「左←1移動」を使う直前の を見つける
  • 点A → の最短移動経路数 を求める これを ★移動数とする
  • は1通りなので 点A → の経路数は、★移動数と同じ
  • 再出発点→点Bまでの、最短移動経路数を求める

【Point!!】 本題に入る前に、単純な例題《図3》でルールを自分の中でしっかり作る!!

逆に言うと、この問題は 文章を読んで、正しくルールが作れる 読解力(国語力)があるか? を問うている問題とも言えます。

図4.「左←1」は6つの場所で

先ほどの マイ・ルール を使って解答します。
また、までの経路数を赤色で、から点Bまでの経路数を青色で表しています。

までの経路数

開成2019年算数 [3](2)解説

→点Bまでの経路数

開成2019年算数 [3](2)解説

よって 答えは、4 + 3 + 2 + 2 + 3 +4 = 18通り

図4.「左←1」は9つの場所で

先ほどの マイ・ルール を使って解答します。
また、までの経路数を赤色で、から点Bまでの経路数を青色で表しています。
さらに、1つの図にまとめてしまいます。

開成2019年算数 [3](2)解説

よって答えは

10 + 6 + 3 + 8 + 9 + 8 + 3 + 6 + 10 = 63 通り

6. まとめ

  • 問題文をよく読み、自分のルール → マイ・ルールを作る
  • 場合分けが、最大でも9通りなので、規則性を見つけるより 愚直に9通りやってみる!!

もし この問題が、2019×2019個の正方形を使った問題であれば、規則性を見つけなければ 受験時間内では解けません。ですが、今回 9通りなので、深く考えるより マイ・ルールに従って手を動かした方が良いと思います。

あくまでも、個人の解答例となりますので、答え 及び 解答は信頼できる塾等でご確認くださいますよう、よろしくお願い致します。


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