スポンサードリンク

最大公約数と最小公倍数!算数を使った簡単な求め方♪

スポンサードリンク Ads by google

例題

12,42,72 の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

中学受験算数で、最大公約数と最小公倍数をズバリ回答させる問題はそれほど多くありませんが、通分や池の周りの旅人算等、応用問題で使うこと多いです。
やり方を知っていれば、とても簡単ですので、回答方法を見ていきましょう。

1. 最大公約数

1.1 約数とは

元の数をかけ算にした時に出てくる数字です。
12を例に考えてみましょう。
12 = 1 \times 12 \\  = 2 \times 6 \\  = 3 \times 4 \\
よって、12 の 約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 となります。

1.2 公約数とは

2つ以上の元の数の約数で、同じ数字のものです。
例) 12 と 42 の公約数は?
12 の約数 1, 2, 3, 4, 6, 12
42 の約数 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
なので、共通の約数は、1, 2, 3, 6 の4つとなり、この4つの数字を 12と42の公約数 と呼びます。

1.3 最大公約数とは

公約数のうち最大のもの
例) 12 と 42 の最大公約数は?
12と42の公約数 は、1, 2, 3, 6 ですので、最大公約数は 6 となります。

1.4 最大公約数の簡単求め方

ようやく本題です!
例題) 12,42,72 の最大公約数を求めよ。
先ほどのように、12 と 42 と 72 の約数を求めて、共通な約数のうち最大のものを答えとすればよいのですが…
面倒くさい(笑)ですよね。
なので、逆さ割り算を使います。(本当の名前はわかりません…)
問題文にある 12, 42, 72 を横に並べて書いて、わり算のひっ算のをひっくり返したような記号を書きます。
最大公約数の簡単求め方
次に、共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
今回、12, 42, 72 は、偶数ですので2で割れそうですね。
最大公約数の簡単求め方
2で割った商に対して、同じように共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
今回は、3で割れそうですね。
最大公約数の簡単求め方
また、3で割った商に対して、同じように共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
おっと、今回残った数字は 2, 7, 12 ですので、共通で割れそうな数字はありませんね…
ですので、割り算はここで終了です。
ここからは、割った数字(左側の数)をかけていきます。
最大公約数
ここでは、2 \times 3 = 6 となり、12, 42, 72 の最大公約数は 6となります。

2. 最小公倍数

2.1 倍数とは

元の数を x1. x2, x3 … と整数倍した数となります。(x0 の積である0 は倍数ではありません)
12を例に考えてみましょう。
12 \times 1 = 12 \\  12 \times 2 = 24 \\  12 \times 3 = 36 \\
よって、12 の 倍数は 12, 24, 36, … と無限に続いていきます。

2.2 公倍数とは

2つ以上の元の数の倍数で、同じ数字のものです。
例) 12 と 42 の公倍数は?
12 の倍数 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168…
42 の倍数 42, 84, 126, 168…
なので、共通の倍数数は、84,168… と 84の倍数が無限に続き、 その数を12と42の公倍数 と呼びます。

2.3 最小公倍数とは

公倍数のうち最小のもの
例) 12 と 42 の最小公倍数は?
12と42の公倍数 は、84, 168… と 84の倍数ですので、最小の公倍数は 84。よって、最小公倍数は 84 となります。

2.4 2つの数の最小公倍数の簡単求め方

例題) 12,42 の最小公倍数を求めよ。
先ほどのように、12 と 42 の倍数を求めて、公約数のうち最小のものを答えとすればよいのですが…
面倒くさい(笑)ですよね。(どこかで聞いたなぁ…)
なので、最大公約数と同じく、逆さ割り算を使います。
問題文にある 12, 42 を横に並べて書いて、わり算のひっ算のをひっくり返したような記号を書きます。
最小公倍数
次に、共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
今回、12, 42 は、偶数ですので2で割れそうですね。
最小公倍数
2で割った商に対して、同じように共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
今回は、3で割れそうですね。
最小公倍数
また、3で割った商に対して、同じように共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
おっと、今回残った数字は 2, 7 ですので、共通で割れそうな数字はありませんね…
ですので、割り算はここで終了です。
ここからは、割った数字(左側の数)とをかけていきます。
最小公倍数
ここでは、2 \times 3 \times 2 \times 7 = 84 となり、12, 42 の最小公倍数は 84となります。

2.5 3つの数の数の最小公倍数の簡単求め方

ここでは、3つの数の最小公倍数の求め方を解説します。2つと比べて、ちょっとしたテクニックが必要になります。
例題) 12,42,72 の最小公倍数を求めよ。
逆さ割り算を使って解いていきましょう。
問題文にある 12, 42, 72 を横に並べて書いて、わり算のひっ算のをひっくり返したような記号を書きます。
最大公約数の簡単求め方
次に、共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
今回、12, 42,72 は、偶数ですので2で割れそうですね。
最大公約数の簡単求め方
2で割った商に対して、同じように共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
今回は、3で割れそうですね。
最大公約数の簡単求め方
また、3で割った商に対して、同じように共通に割れる数字を探して 横に書いて、それぞれの数字を割っていきます。
おっと、今回残った数字は 2, 7,12 ですので、共通で割れそうな数字はありませんね…
最大公約数 はここで終わりでしたが、最小公倍数の場合は割り算を続けます。
【最小公倍数の時のみの新ルール!】

ルール 1. 2つ以上で共通で割れたら割って商を下に書く。
ルール 2. 割れなかった数は、そのまま下に書く。
3つ 最小公倍数
2 と 12 は共通の 2 で割れますので、商 1, 6 を書きます。しかし、7 は 2 では割れませんので、そのまま 7 を下に書きます。
そして、左側と下の数をかけ算します。
3つ 最小公倍数
2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 7 \times 6 = 504 よって、12, 42, 72 の最小公倍数は 504 となります。
知ってれば、簡単でしょ♪

3. おまけ。最小公約数 と 最大公倍数

3.1 最小公約数とは

最小公約数という言い方は、あまりしません。というのも…
約数には必ず 1 が含まれていて、1が必ず最小となります。ですので、どんな数字であっても、最小公約数は 1 となります。
例) 1398, 17983, 5683 の 最小公約数は? → 答. 1
なので、普通 最小公約数を聞いてくることはありません。

3.2 最大公倍数とは

最大公倍数という言い方も、あまりしません。というのも…
公倍数は、最小公倍数の整数倍であり、その倍数は無限に続いていきます。先ほどの 12, 42 ,72 の公倍数を例にすると、504, 1008, 1512, 2016… と無限に続いていき、最大の公倍数は算数の数字では表すことが出来ません。

3.3 結局、最小公約数と最大公倍数は使わない

塾の授業で、ひっかけ本当に理解しているか? を試すために聞くことはあっても、最小公約数と最大公倍数という言葉は、通常使われることはありません。


あわせて読みたい! 数の性質のおすすめ記事