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公式なんて覚えない!ひし形の面積は直感的に考えよう♪

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例題

このひし形の面積を求めなさい。
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さて、どのように求めていきましょうか?

面積とはとっても単純化すると、一辺が1の正方形(単位面積)が何個置けるか? でした。

では、正方形(単位面積)がおけるような形に変化させていきましょう。

(対角線)×(対角線)÷ 2 の公式とは何か?

算数の図形 (面積計算)は補助線で理解する!でも書きましたが、単純な図形に直していきましょう♪

注目する三角形を赤で囲でみました

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ひし形の中心から 1/4 の三角形を 赤色で色付けしました。

ここで、わかりやすくするために

  • 図形の後ろに 1×1cmのマス目
  • 対角線の長さを、ひし形の外に書きました

この赤色の三角形と同じ大きさの三角形を、ひし形の外に置けないかなぁ? と 考えてみてください。
そして、その三角形を置くと、面積を求めやすい場所を探します。

赤い三角形を置いてみましょう♪

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補助線を引いた右側の赤い三角形と、点線で囲んでいる部分は全く同じ面積となります。

※ 数学的には、合同であり、合同であることを証明できますが、お子さんには紙にプリントアウトしてあげて、はさみで切って見せてあげてくださいね。まずは直観力が大事です♪

※ もしくは、元々 6cm x 4cm の長方形を折る事によって ひし形を作って下さいね♪

ここで、元々の 三角形を ◯あ、新しく作った三角形を □あ とします。

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同じことを ひし形全体でしてみましょう

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シンプルな 6cm x 4cm 長方形の形が出来てきました。

面積を計算しましょう♪

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この図を見ると、長方形になっていますので、面積を求めると、
 6 \times 4 = 24 cm^2
そして、元々の ひし形 と、長方形との関係は、
長方形の面積は、ひし形の面積の2倍となります。(◯ と □ の面積は一緒。)
逆にいうと、ひし形の面積は 長方形の面積の 半分 (つまり ÷2) になります。
ひし形の面積の式まとめると、
 6 \times 4 \times \frac{1}{2} = 12 cm^2 となります。

この考え方が、わかって 初めて

ひし形の面積の公式

(ひし形の面積) = (対角線) × (対角線) ÷ 2

を知った方が良いと思います。

ひし形の面積を求めるときは、(対角線) × (対角線) ÷ 2  の公式から導くのではなく、
上記のような三角形を置くことをを頭の中で出来るんだけど、解答用紙に全部書くのめんどくさいから、結論だけ (対角線) × (対角線) ÷ 2 を書くっていう、思考回路です。

テスト中に「ひし形の面積公式を忘れたから、ひし形の面積計算出来ないよ…」となるのではなく、「まぁ、忘れちゃったけど ひし形の面積は 自力で求めれるね♪」という、考えをしてくださいね。

三角形の集合体として面積を求める

注目する三角形は同じです

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この三角形の面積を求めると、
 ( 6 \div 2 ) \times ( 4 \div 2 ) \div 2 = 3 cm^2 となります。

ひし形は この三角形が4つ集まっています

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ここで、「い」「う」「え」の三角形は「あ」と同じです。
※ 合同の証明も出来ますが、まずは、同じであることを直感的に感じてくださいね。
よって、求めるひし形の面積は、「あ」の三角形の面積の4倍であるから
 3 \times 4 = 12 cm^2 となります。

平行四辺形として面積を計算する

例題

このひし形の面積を求めなさい。
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「ひし形の面積を求めなさい。」と問題文に書いてありますが、対角線の長さが書かれていません…
どうしましょうか?

回転してみる♪

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すこし、回転させてみました。
すると、いつも見慣れた「平行四辺形」の面積問題になりましたね。
よって、 8 \times 6 = 48 cm^2 がひし形の面積となります。

なぜ 平行四辺形の面積の求め方が使えるのか?

ひし形とは、「4辺の長さが等しい」平行四辺形 なのです。
なので、平行四辺形と同じ方法で面積を求めることが出来ますよ♪
平行四辺形の面積については詳しくは → 公式なんて覚えない!平行四辺形の面積は直感的に考えよう♪

まとめ

ひし形の面積問題を何問も解いていると、結局は (対角線) x (対角線) ÷ 2 を覚えてしまうと 思います。それは良いことなのですが、逆に その公式を忘れたら、問題が解けない!! では困ってしまうので…

ひし形の面積は、公式忘れても なんとかなるよ♪ と、考え方を教えてあげたらいいなと思っています。


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