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弧の長さを使った扇(おうぎ)型の面積の公式を知っていますか?

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角度を使った一般的な扇型の面積の公式

まずは、一般的なおうぎ方の面積の公式を見て行きましょう♪

扇型の面積の公式

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小学生用 角度に° を使った公式
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扇形の面積を求める基本の考え方は、同じ半径の円に比べてどれぐらいの大きさか? を 考えます。

同じ半径の円 との 比べ方は、中心角を使うのが一般的です。

例えば、中心角が30°の扇型であれば、
 \frac{30}{360} = \frac{1}{12}

中心角が 150° の扇型であれば、
 \frac{150}{360} = \frac{5}{12}

では、次のような、角度が分からなくて、弧のの長さが示されている扇型の面積はどのように求めればよいでしょうか?

弧の長さわかっている場合の扇型の面積の求め方

次のおうぎ形の面積を求めなさい

弧の長さを使った扇形の面積公式

なんと… おうぎ形の中心角が分からない問題です… どうしましょうか???

弧の長さ と 元の円の円周を 比較する

この扇形の元になった、半径 3cm の円を考えましょう。
扇型の面積の公式
この 半径 3cm の円の 円周の長さは、
円周の長さの公式
より
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元の円周の長さと 扇型の弧の長さを比べると
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よって、問題文の 扇型は 元の円の 6分の1 の大きさとなります。

ポイント♪

扇型の面積の公式といえば、中心角がわからないと 面積が求まらない!!
と 考えがちですが…
弧の長さが 分かれば、元の円の円周との比較が出来き、結果 円の大きさとの比較ができます!!

よって 求める面積は

この扇形の面積は、元の円の面積の 6分の1 であるから、
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弧の長さを使った扇型の面積の公式

スーパー三角形公式

弧の長さ 扇型の面積公式
弧の長さ 扇型の面積公式
弧の長さ 扇型の面積公式

小学生の時に塾で、「スーパー三角形の公式」って習いましたw なんとなーく、三角形の面積公式、(底辺)×(高さ)÷2 に形が似ているからです。この公式を知っていると、先ほどの例題も、

3.14 × 3 ÷ 2 = 4.71

と立式は3秒で出来ますね♪ 計算はもう少し時間がかかりますが…

スーパー三角形公式はどうして出来るの?

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中心角のわかっている、扇型の弧の長さを求める公式は、
扇型の弧の長さの公式
中心角のわかっている、扇型の面積を求める公式は、
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ここで、
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に注目します。
扇型の弧の長さを求める公式を変形して、
扇型の弧の長さの公式 変形
この式を、 扇型の面積を求める公式に当てはめると、
弧の長さ 扇型の面積公式
となります。

まとめ

あまり、公式を覚えろ!! っていうのは 好きではないので、「スーパー三角形のテクニック♪」なんて言っています。
まぁ、同じことで… 言葉遊びみたいなものですがw

しかし、子ども達に教えるときに、「扇型で弧の長さがわかっている時には、この公式を使いなさい!!」って教えるよりも、「弧の長さがわかっていれば、すっごい 方法 知ってるよ♪」って 言って教えてあげたほうが、喜んでくれますよ♪


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