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三角形の面積の公式♪ ÷2 って、どうして2で割るの?

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例題

この三角形の面積を求めなさい。 三角形の面積公式

 5 \times 4 \div 2 = 10 (cm^2) 正解です!!!!

でも、どうして、(底辺) × (高さ) ÷ 2÷2 って何でしょうか?

今日は、三角形の公式の成り立ち と 一緒に、この ÷2 って何かを考えていきましょう。

なぜ2で割るか、考えてみよう!

まずは、わかりやすく考える(見る)ために、三角形の下に 1 × 1 のマス目を書きます。

マス目を書いて、補助線を引きました

三角形の面積公式 補助線
マス目を書くのと同時に、補助線を引いて、高さを横にずらしてみました。
補助線を引くと、どこかに直角三角形が見えてきませんか??

直角三角形を探そう♪

三角形の面積公式 直角三角形に分ける
補助線の 右側と、左側で 直角三角形が出来ました♪
直角三角形があれば、そこから 長方形が作れるのですが… 何か見えますか… 見えますか?

なにか、見えてきましたか?? 面積は、1cm × 1cmの正方形(単位面積)がいくつあるか? が数えられれば良いのです。 >> この考え方は、重ねるだけで理解する!面積の基本の キ♪ の記事を参考にしてくださいね。

そして、「どうすれば、数えやすい 四角形 にならないかなぁ?」 と 考えてみてください。

数えやすい四角形をつくろう♪

三角形の面積公式 長方形の半分
赤と青の直角三角形を足して、長方形ができました!!
赤い三角形と、赤い点線の三角形。そして、青い三角形と、青い点線の三角形は同じ(合同)な三角形ですよね。
※ 証明することもできますが、まずは、直感的に 同じ直角三角形を置いたら、長方形になることを 子どもに教えてあげてくださいね♪ 直感力が大事です。

長方形の面積を求めよう♪

三角形の面積公式 長方形にする
シンプルな長方形の形が見ていていると思います。 この長方形なら 面積を求めるのは 簡単ですね♪
 5 times 4 = 20 (cm^2)

元々の三角形は??

三角形の面積公式 分かりやすい図
この長方形は、(あ) の 直角三角形が2つ。(い) の 直角三角形が2つで出来ていましたよね。
そして、(あ) と (い) を合わせたのが、元の三角形でした。
つまり、この長方形の面積は 元の三角形の面積の2倍となっています。
よって、元の三角形の面積は 長方形の面積の半分であるから、
 20 \div 2 = 10 (cm^2)
となります。

(底辺)×(高さ)÷ 2 の公式とは何か?

ここで、÷ 2 の登場です♪

三角形の面積の公式の÷2とは?

三角形は、(底辺) × (高さ) の 長方形の半分の面積になっている。
よって、(長方形) ÷ 2 が 三角形の面積となる。

これで、(底辺) × (高さ) ÷ 2 の公式を知ったほうが良いと思います。
最初から、呪文のように 「ていへんかけるたかさわるに」 って、つぶやくのではなく、どうしてそうなるか? を 一緒に考えて見て下さいね♪

Papa!! 長方形に出来ない三角形があるよ!?

例題

この三角形の面積を求めなさい。
三角形の面積公式 斜め三角形

あれあれ… この三角形はどうしたら長方形になるのでしょうか…

イメージ出来ましたか!?

今回は平行四辺形を作る♪

長方形を作るのは、なかなか難しそうなので…
今回は、平行四辺形を作りましょう♪
三角形の面積公式 平行四辺形
前回と同じで、三角形を180度回転させました。
点線の三角形は 元の三角形と 同じ形・大きさ。つまり合同です。

平行四辺形の面積を求めると

平行四辺形の面積公式
 5 \times 6 = 30 (cm^2)
平行四辺形の面積の求め方は → 公式なんて覚えない!平行四辺形の面積は直感的に考えよう♪を参考にしてくださいね♪
三角形の公式 平行四辺形の半分
今回求めた 平行四辺形の面積は、元の三角形の2倍であるから、求める三角形の面積は
 30 \div 2 = 15 (cm^2)

まとめ

三角形は、(底辺) × (高さ) の 長方形もしくは平行四辺形の半分の面積になっている。
よって、(長方形・平行四辺形) ÷ 2 が 三角形の面積となる。
これが、÷2 の正体ですよ♪

三角形の面積公式のまとめ♪

基本的には、公式とか 覚えなくても大丈夫なのですが… まとめましたので参考にしてくださいね♪


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