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ニュートン算は面積図・線分図ではなく、グラフで解くのが超簡単!

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例題

ある牧場で、牛を9頭放牧すると12日間で草がなくなり、牛を10頭放牧すると9日間で草がなくなります。
牛12頭放牧すると、何日間で草がなくなりますか。
ただし、牛1頭は1日に同じ量の草を食べ、草は1日に同じ量 生えるものとします。

ニュートン算ですね~(笑)
つるかめ算や、倍数算など 他の文章題は得意だけど、ニュートン算だけはちょっと苦手…っていう、お子さんも多いのではないでしょうか?
ニュートン算の解き方は、
1) 線分図
2) 面積図
と ありますが… 一番 理解しやすいのは、グラフ! です。

これまで、塾で「線分図」や「面積図」で習って、「ニュートン算が苦手だなぁ~」というお子さんには、グラフ式で教えてあげましょう♪

グラフと旅人算で解く

増える草の量をグラフ化する

まず、大前提として、
1) 最初からある程度草は生えている。
2) 牛がいなくても、毎日同じ量の草が生える。
この 2点を押さえて、増える草の量のグラフを書きましょう。
ニュートン算 グラフ
このように、最初から草が生えていて、あとは一定の割合で草が増えていきます。

牛1頭が1日に食べる草の量を1とする!

仕事算でも、全体の仕事を1とする! という 魔法の呪文がありましたが(笑)
ニュートン算では、減らす要素の1単位当たりの数 を 1とします。
この問題では、
・減らす要素 は 草を食べる牛。
1単位は、1頭が1日で食べる量 となります。

牛が食べた量グラフに書こう!

牛9頭で12日間で草がなくなるということは、牛9頭が12日間で食べた草の量は、
牛1頭が1日で食べる量を1とすると、9 \times 12 = 108 となります。
同様に、牛10頭が9日間で食べた草の量は、10 \times 9 = 90 です。
これだけの量の草を牛が食べるためには、その量がその日までに生えているので、先ほどの草の量のグラフ上にプロットします。
ニュートン算 グラフ
となります。
つまり、9日目には90の量の草。12日目には108の量の草がないと、牛たちは草を食べることができません。

草の量を計算しよう!

先ほどの図の、牛9頭12日目 と 牛10頭9日目 の、日数・草の量 の差に注目しましょう♪
ニュートン算 グラフ
12 - 9 = 3日間に、108 - 90 = 18だけ草の量の差があります。
よって、1日に増える草の量は、18 \div 3 = 6 となります。(数学でいうところの 「傾き」です)
ニュートン算 グラフ
この値 6 から、9日間に増えた草の量は、6 \times 9 = 54
ニュートン算 グラフ
よって、最初から生えていた草の量は、90 - 54 = 36 となります。

問題の12頭を考える

ココからは、旅人算として考えます。
牛12頭が1日に食べる草の量は 12。1日に増える草の量は、先ほどの計算から 6。
よって、牛12頭を放牧した時に、1日に減る草の量12 - 6 = 6
最初に生えていた草の量は 36であるから、草がなくなるのは、
36 \div 6 = 6日 となります。
Ans. 6日

最後に、旅人算が出てくるのが、算数として美しくない!! と お思いの お子様には 次のやり方があります。

全てグラフで、図形の問題にしてしまう♪

問題文をグラフ化する

問題文を全てグラフ上に書き込みます。
ニュートン算 グラフ
作図のポイントは、
1) 食べ尽くした後もグラフを書く!
2) 牛1頭が1日に食べる草の量を1とする!
この図で言うと、10頭放牧した時には、9日で草がなくなりますので、10日目以降 牛は草を食べることができません。
ですが、問題文にある最長の日数 12日 までは、グラフを描いてしまいます!
同じく、12頭の場合は、10頭よりもっと早い日数で食べ終わってしまいますが、12日目まで書きます。
しかし、これだけでは、良くわからないので 分割して考えましょう。

最初から生えていた草の量を計算する

牛9頭が12日間で食べる量は、 \overline{AO_{12}} = 9 \times 12 = 108
これは、問題文より 12日間で生える草の量と等しくなります。これをグラフに表すと、
ニュートン算 グラフ
赤い線が、牛9頭が食べる草の量の変化。緑色の線が、草の量の変化となります。

次に、牛10頭が12日間で食べる量をグラフにすることを考えましょう。
牛10頭が12日間で食べる量は、 \overline{B'O_{12}} = 10 \times 12 = 120 であるから、
ニュートン算 グラフとなり、O_9 は9日目を表す。
また、\overline{AB'} = 120 - 108 = 12
ニュートン算 グラフ
ここで、\triangle ABB' \triangle OBD に注目すると、
\triangle ABB' \triangle OBD (∽ は相似の記号)
\overline{AB'} : \overline{OD} = \overline{O_9O_{12}} : \overline{OO_9}
12 : \overline{OD} = 3 : 9
\overline{OD} = 12 \times 9 \div 3 = 36
よって、グラフより、最初から生えていた草の量は 36

12頭が食べきる日数を求める

さらに、草の増える量と、12頭が食べる量のみに注目してグラフを描きましょう。
ニュートン算グラフ
となります。
ここで
\overline{C'O_{12}} = 12 \times 12 = 144
ニュートン算 グラフ
\overline{C'A} = \overline{C'O_{12}} - \overline{AO_{12}} = 144 - 108 =36
\triangle ACC' \triangle OCD であるから、(∽ は相似の記号)
\overline{O_CO_{12}} : \overline{OO_C} = \overline{AC'} : \overline{OD} = 36 : 36 = 1 : 1
Newton010
\overline{OO_C} = \overline{O_CO_{12}} \times \frac{1}{1 + 1} = 12 \times \frac{1}{2} = 6
よって、求める 日数は 6日。

どちらで解いた方が良いのか?

どちらでも良いです(笑)
お子さんの理解しやすいのが一番だと思いますよ。
全てグラフで解いたほうが、確かにグラフでやりきった!! という満足感はあります。が、草がないのに牛が食べ続けるという不思議なテクニックを使っています。
途中までグラフで、最後は旅人算は、これまでに培ってきた算数力を使って解けるというメリットが有ります。
私の好きな言葉に「枯れた技術の水平思考」というのがあるのですが、使い古された方法であってもそれを同時に並べて使うと新しい問題も解けるという解釈もできます。
そういった意味でも、新しいテクニックを使わずに、これまでの算数力だけでニュートン算を解くのも面白いんじゃないのかな? と 思います。


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