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三平方(ピタゴラス)の定理を証明♪中学受験算数で出る!!直角三角形はコレだ♪

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三平方の定理・ピタゴラスの定理 とは?

pythagorean001

定理

直角三角形の斜辺の長さを c 、他の2辺の長さを a , b とした時、
a^2 + b^2 = c^2
 a \times a + b \times b = c \times c(小学生向け)
が成り立つ。

三平方の定理・ピタゴラスの定理 の証明

証明方法は色々ありますが、小学生に教えるのに一番わかりやすい 面積での証明を書きますね♪

大人向けの証明

pythagorean003
元となるabcの三角形と合同の三角形を4つ 大きな正方形が出来るように並べます。
pythagorean004
ここで、大きな四角形の面積 S1 は、一辺 の長さが ( a + b ) であるので、
pythagorean006
pythagorean005
大きな四角形 は 小さな四角形 三角形4つの合計 S2 でも求めることが出来ます。
pythagorean007面積の求め方が違うだけで、面積 S1 = S2 であるので、
pythagorean008よって、三平方の定理・ピタゴラスの定理が証明できます。

数学を習っている 大人 ですと、スッキリ理解出来るのですが、小学生には、
pythagorean006
この式の展開が、わかりにくいと思います。
ので、ピタゴラスの定理 を 探しだす 問題を解いてみましょう。

小学生向け 三平方の定理・ピタゴラスの定理を自分で導き出す♪

問題

【1】辺BCの長さが 4cm 、辺ACの長さが 5cm である、直角三角形の 辺ABの長さを求めたいと思います。
(1) 三角形ABCの面積は 何平方cm ですか。
(2) 三角形ABCと合同の三角形4つを使って正方形CDGIを作りました。この正方形の面積は何平方cm ですか。
(3) 角BAHは何度ですか。
(4) 四角形ABFHの面積は 何平方cm ですか。
(5) 辺ABの長さは 何CM ですか。
pythagorean010

(1) 三角形ABCの面積

pythagorean011

(2) 正方形CDGIの面積

三角形BDF・三角形FGH・三角形HIAは三角形ABCと合同であるから、正方形CDGIの1辺の長さは、
pythagorean012
よって、求める正方形CDGIの面積は、
pythagorean013

(3) 角BAHは何度か

pythagorean014
三角形ABC と 三角形AHI は合同であるので、∠ABC = ∠HAI である。
三角形ABC に注目すると ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
赤い丸に注目すると、∠BAC + ∠HAI + ∠BAH = 180°
よって、∠BAH = 90°

(3) 四角形ABFHの面積

pythagorean010
四角形ABFHの面積は、大きな正方形CDGI から、三角形4つを引くことで求めることが出来る。4つの三角形は合同である事と、(1)(2)の答えより、
pythagorean015

(5) 辺ABの長さ

四角形ABFHの面積が、(4)より 25平方cm であるから、正方形の1辺の長さは 5cm である。

このような 手順を踏んで、「実はどんな三角形でも同じ図を使って求めることが出来るよ!!」

この図形の計算を整理すると、
pythagorean016となり、これが、三平方の定理・ピタゴラスの定理だよ♪と教えてあげるのが、小学生には良いと思います。

数学では、一般論として証明しなければなりませんが、小学生には「あぁ~ そうなるんだぁ」で十分だと思います。

中学受験に出る 直角三角形

中学受験では ルート √ を使いませんので、出題される直角三角形は だいたい 決まっています。

その 直角三角形を紹介しますね。

三角定規 の 直角三角形

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√2 及び √3 は参考程度です。三角定規の直角三角形は よく出題されますので、角度も含めて覚えておいてくださいね♪

知ってて損はない 直角三角形

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中学受験ですので、このような 整数での 直角三角形がよく出題されます。
345 の 三角形は覚えておいて欲しいですが、他の2つは そんなのもあるんだぁ~ 程度で良いかなぁ と 思います。

今回のエントリ、長くなりましたが、Papa & Mama が小学生に 三平方の定理・ピタゴラスの定理を説明するのに、役に立てば 幸いです♪


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