三平方の定理・ピタゴラスの定理 とは?
定理
直角三角形の斜辺の長さを c 、他の2辺の長さを a , b とした時、
(小学生向け)
が成り立つ。
三平方の定理・ピタゴラスの定理 の証明
証明方法は色々ありますが、小学生に教えるのに一番わかりやすい 面積での証明を書きますね♪
大人向けの証明
元となるabcの三角形と合同の三角形を4つ 大きな正方形が出来るように並べます。
ここで、大きな四角形の面積 S1 は、一辺 の長さが ( a + b ) であるので、
大きな四角形 は 小さな四角形 と 三角形4つの合計 S2 でも求めることが出来ます。
面積の求め方が違うだけで、面積 S1 = S2 であるので、
よって、三平方の定理・ピタゴラスの定理が証明できます。
数学を習っている 大人 ですと、スッキリ理解出来るのですが、小学生には、
この式の展開が、わかりにくいと思います。
ので、ピタゴラスの定理 を 探しだす 問題を解いてみましょう。
小学生向け 三平方の定理・ピタゴラスの定理を自分で導き出す♪
問題
【1】辺BCの長さが 4cm 、辺ACの長さが 5cm である、直角三角形の 辺ABの長さを求めたいと思います。
(1) 三角形ABCの面積は 何平方cm ですか。
(2) 三角形ABCと合同の三角形4つを使って正方形CDGIを作りました。この正方形の面積は何平方cm ですか。
(3) 角BAHは何度ですか。
(4) 四角形ABFHの面積は 何平方cm ですか。
(5) 辺ABの長さは 何CM ですか。
(3) 角BAHは何度か
三角形ABC と 三角形AHI は合同であるので、∠ABC = ∠HAI である。
三角形ABC に注目すると ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
赤い丸に注目すると、∠BAC + ∠HAI + ∠BAH = 180°
よって、∠BAH = 90°
(5) 辺ABの長さ
四角形ABFHの面積が、(4)より 25平方cm であるから、正方形の1辺の長さは 5cm である。
このような 手順を踏んで、「実はどんな三角形でも同じ図を使って求めることが出来るよ!!」
この図形の計算を整理すると、
となり、これが、三平方の定理・ピタゴラスの定理だよ♪と教えてあげるのが、小学生には良いと思います。
数学では、一般論として証明しなければなりませんが、小学生には「あぁ~ そうなるんだぁ」で十分だと思います。
中学受験に出る 直角三角形
中学受験では ルート √ を使いませんので、出題される直角三角形は だいたい 決まっています。
その 直角三角形を紹介しますね。
知ってて損はない 直角三角形
中学受験ですので、このような 整数での 直角三角形がよく出題されます。
345 の 三角形は覚えておいて欲しいですが、他の2つは そんなのもあるんだぁ~ 程度で良いかなぁ と 思います。
今回のエントリ、長くなりましたが、Papa & Mama が小学生に 三平方の定理・ピタゴラスの定理を説明するのに、役に立てば 幸いです♪
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