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分数の約分!意味と裏ワザを使ったやり方を解説♪

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目次

約分の意味からくわしく解説していますので、裏ワザだけを見たい方は、目次からジャンプしてくださいね♪

1. 約分の意味とやり方

1.1 約分の意味をかたくるしく言うと…

分母と分子を公約数で割ること。
具体例)  \frac{4}{16} において、(4,16)の公約数 2 で分母と分子を割ることを約分といいます。
\frac{4}{16} = \frac{2}{8}
ですが、中学受験算数において約分しなさい。というのは、最も簡単な分数(既約分数)にしなさい。という意味で使われます。
よって、中学受験算数での約分とは、分母と分子を最大公約数で割り、既約分数にすること。
\frac{4}{16} において、(4,16)の最大公約数は 4 なので、
\frac{4}{16} = \frac{1}{4} となります。

1.2 約分のイメージを、図で表す

\frac{1}{12}を図で表すと
約分とは
1を12個に分けた1つ分\frac{1}{12}ですね。
ここで、 \frac{6}{12}を図で表すと、
約分とは
\frac{1}{12} を 6個集めたものが \frac{6}{12}
この図を、見ると直感的に、\frac{6}{12} = \frac{1}{2}であることが、理解できると思います。
これを計算式で表すと
\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} となり、
\frac{6}{12} を約分すると \frac{1}{2} になります。

1.3 約分のやり方

分子と分母を最大公約数で割れば良いのですが、実際の計算では公約数でどんどん割っていくのがコツです。
例) \frac{42}{252} を約分しなさい。
約分(42, 252) の公約数のうち、見つけやすい 2 で割って、(21, 126)
(21, 126) は、何で割れるでしょうか? 2では割れそうにないので、3 はどうでしょう? 割れそなので、3 で割って(7. 42)
(7, 42) は、7 で割れそうなので (1, 6)
よって、\frac{42}{252} を約分すると \frac{1}{6} となります。

2. 約分の裏ワザ

2.1 約分できるの?という分数を見た時

例題) \frac{299}{437} を約分しなさい。
299 と 437 ?? 約分できるの??? 偶数じゃないから2も無理だし、3の倍数でもないし、5でもないし、7でもないし… どういうこと!? と なりそうですが…

2.2 絶対に約分できる!

問題文で、約分しなさい。と書いてあるので、絶対に約分できます!
約分できない分数を約分しなさい。という問題を出したら… テスト製作者の責任問題ですねぇ(ウラ話…)
なので、絶対に約分できると信じましょう。

2.3 約分の裏ワザ

分母と分子の差から、公約数を推測する。
例題では、299 と 437 の差ですので、437 – 299 = 138 この138の約数を考えましょう。
約数を求めるときは、逆さ割り算を使います。
約分
よって、138 = 2 \times 3 \times 23
これより、元の 299 と 437 の公約数は 2, 3, 23 と推測されます。
当てはめてみると 2, 3 は違うので、どうやら 23 のようですね。
よって、\frac{299}{437} = \frac{299 \div 23}{437 \div 23} = \frac{13}{19} となります。
299 や 437 の約数を見つけるより その差である 138 の約数のほうが見つけやすいですね。

2.4 どうして裏ワザが使えるのか

数学のわかるパパ&ママ向けの解説です。お子さんに教えるときのヒントにしてくださいね。
数学的解説) \frac{B}{A}を約分しなさい。
A, B の約数が見つけにくい時に、(A-B)の約数を見つければ、A, B の公約数がどうして見つかるのか? の解説です。
今回は、説明がし易いよう \frac{B}{A} < 1 としますが、\frac{B}{A} \geq 1でも同じとなります。
この 答えが \frac{b}{a} のとき、\frac{B}{A} = \frac{bc}{ac} となります。
B = bc, A = acをグラフに表すと
約分
となります。では、A - B はグラフ上ではどのように表せられるでしょうか。
約分
このように、A - B = (a - b) \times c として緑色のグラフとして表すことが出来ます。
注目すべきは、この 緑色の A – B の数も、A と B の公約数である c を必ず約数として持っている。ということです。
つまり、A, B の約数が見つけにくい時は、A – B の約数を見つければ、それが、A, B の公約数に必ずなっています。
\frac{B}{A}を約分しなさい。と言った問のように、必ず (A, B)に公約数がある場合に限ります。

まとめ

中学受験算数において、約分しなさい。という問題はほとんど出ませんが… 約分しなさいと問われたときは、必ず約分できます。
また、計算問題などの答えが、\frac{299}{437}のような、分子も分母も3桁以上になるような分数となった場合は、約分が出来ると考えます
※ 全国の入試問題の統計をとったわけではないのですが… 感覚論です。
ですので、約分が出来ると思うのに、約数が見つからない。と思った時は、分母と分子の差から公約数を推測してくださいね♪


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