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比の内項と外項の積は同じ♪

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今回取り上げるのは、比の掲載問題で典型的な、2:3=10:x です。

※ 算数ではxではなく□を使うことが、多いですが… webの便宜上xとしました。

よくある回答

比の内項と外項の積は同じなので、

3\times10\div2=15

\underline{Ans.\hspace{10px}15}

内項と外項の積って何?

naigaikou

内項の積とは、(ビジュアル的に)比の内側を掛けあわせたもの。この場合は、3\times10=15

外項の積とは、比の外側を掛けあわせたもの。この場合は3\times x となります。

上の問題 2:3=10:xは、数学的な解答例としては、

2x=3\cdot10\\ 2x=30\\ x=15  となります。

どうして内項と外項の積が同じ?

この、小学生塾では当たり前のように使われている、「内項と外項の積が同じ」が成り立つのでしょうか? まずは、比における「比の値」を復習したいと思います。

比の値とは?

a:b の比の値は \frac{a}{b} です。

これは、言葉の定義ですので、残念ながらそのまま覚えてください…。

そして、比が等しい場合、

a:b=c:d

比の値も等しくなります。 つまり、

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \frac{ad}{bd}=\frac{cb}{bd}\\ ad=cd

よって、比が等しい時には内項の積と外項の積が等しいことが言えます。

意味を考えて解いてみましょう

hinokeisann

ここでxを求める場合、前項が5倍になっている事に気づけましたか? では、なぜ 前項が5倍になっていいるのに、この式は = (イコール) で結ばれて、等しいのでしょうか? それは、左辺の比の値 と 右辺の比の値 が等しいことを示しています。 つまり、

\frac{2}{3}=\frac{10}{x}

この分数を考えると、分子が5倍になっていますので、= を成り立たせるためには、分母も5倍すれば良いことがわかりますね。

よって、比の等式においても、分数の通分と同様に計算ができ、 前項は、

10\div2=5

5倍になっているので、後項も5倍すれば良い。

3\times5=15

よって、 xは15となります。

結局は覚えなくても大丈夫

比が等しいとは、比の値が等しいということを知っていれば、「内項の積と外項の積が等しいこと」を覚えなくても、計算出来ますね。 ただ、私が小学生の時も、この公式(?)を使ってとくと、面白くってどんどん解いていましたし、そんなに厄介な公式でもないので覚えちゃったほうが早いかな?


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