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中学受験 差集算(差集め算)の問題!線分図より面積図が簡単♪

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差集算(差集め算)問題

1本あたり 120円の赤い鉛筆を何本か買うために、翼くんはおつりが出ないようにお金を持って買い物に行きました。が、赤い鉛筆がなかったので、1本あたり 105円の青い鉛筆を買ったところ、もともと買う予定だった本数より 2本多く 買うことができ、また 90円 おつりをもらいました。 翼くんは何円を持って買い物に行ったのでしょうか?

差を集めることで、解答できるから差集算(差集め算)と言うのでしょうか?? まぁ、参考書やwebで調べやすいように、つるかめ算とか差集算とか名前がついていますが… 特に覚える必要はありませんよ♪

では、まずは 一般的な線分図を書いていきましょう♪

一般的な線分図を描いて解答しよう

基本となる線分図

差集算 線分図
予定していた赤鉛筆を買う本数がわからないので\Box本と仮定します。
赤鉛筆 全体の線分図の長さは、120 \times \Boxとなり、これは 翼くんが持っていたお金となります。
青鉛筆 の線分図は、予定していた本数\Box本を買う( 105 \times \Box )に、さらに多く買えた2本分105 \times 2 と、お釣り90円を足した線となります。
この2本の線の長さは、最初に翼くんが持っていたお金同額となります。
また、赤鉛筆を\Box本。青鉛筆を\Box本。同じ\Box本を買った時のは、線分図より
105 \times 2 + 90 = 300円 となります。

赤鉛筆と青鉛筆1本の差は?

差集算 線分図
線分図にするまでもないかもしれませんが… 1本当たりの値段の差120 - 105 = 15円となります。
先ほど計算した 赤鉛筆を\Box本。青鉛筆を\Box本。同じ\Box本を買った時の差 300円 は、この1本あたりの差 15円 が集まった金額となります。(だから、差集算って言うんでしょうねw)
よって、購入を予定していた本数は、300 \div 15 = 20本。
翼くんが持っていた金額は、赤鉛筆を20本買える金額なので、120 \times 20 = 2400円 …(答え)

以上が、塾などで習う一般的な差集算の解答方法となります。こちらの考え方で解ければ、もちろん問題無いのですが、一歩すすめて、より直感的に理解できる面積図を使った解法を解説します。

差集算を面積図で解く!

掛け算の答え(積)は、長方形の面積となる

例えば、3 \times 2 = 6 の式は、縦3cm、横2cmの長方形の面積6cm^2を示しています。
120円の赤鉛筆を\Box本、買う予定と仮定します。この時、予定購入金額は、120 \times \Box円となり、その掛け算を面積図で表すと下図になります。
差集算 面積図

青鉛筆の場合も面積図に書く

差集算 面積図
まず、縦辺は青鉛筆の1本分の値段105円。そして、横辺については3つに分けて考えます。
① 予定通り\Box本買った。
② 予定より多く買えた 2本。
③ お釣りとしてもらった 90円。
この ①,②,③ の合計が、持っていった金額、つまり、予定購入金額120 \times \Box円 と同額となります。

2つの面積図を重ねてみよう!

差集算 面積図
先ほどの図を重ねてみましょう。
もともと購入する予定の\Box本の面積は重なり、そこを緑色で塗ってあります。
ここで、元の赤い四角 と 青い四角 は同じ面積なので、それぞれから緑色の四角を引いた部分の面積も等しくなります。
青い四角の面積を求めると、105 \times 2 + 90 = 300円。
これが、赤い四角の面積と等しく、その面積は 300。赤い線の縦辺は$latex120 – 105 = 15$円であるから、横辺である\Box本は、
300 \div 15 = 20本となります。
よって、最初の購入金額は、
120 \times 20 = 2400円 … (答え)

差集算のまとめ

結局、線分図を使っても、面積図を使っても、計算式は

( 105 \times 2 + 90 ) \div ( 120 - 105 ) = 20 \\ 120 \times 20 = \underline{2400...Ans.}

となり、同じです。
なので、どちらで解いてもOKですので、お子さんが理解しやすい方で教えてあげて下さい。
旅人算が得意でしたら、線分図がわかりやすいかもしれませんし、図形が得意なら面積図かな? とも 思います。
余裕があれば、どちらの方法でも解けるようにしましょうね♪


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