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天秤法でわかった!!中学受験算数・食塩水問題のスピード解き方♪

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例題

6%の食塩水200gと11%の食塩水300gを混ぜると、何%の食塩水となりますか。

食塩水の定番問題ですね。
1つ、注目のポイントは…
算数の問題である事 !! >> 当たり前すぎで、「どういう意味??」と思うかもしれませんが、基本的に “塩は全部溶ける“ と考えて良いものとします。

つまり、理科では 水の温度によっては、塩は溶けきらないこともありますが、算数では全て溶けると考えて良いのです。

特に、小6になって、受験勉強を始めて詰め込んでいるお子さんだと、算数と理科の食塩水の違いが分からなくなるみたいです…

まずは、スタンダードな解き方から見ていきましょう。

合わさった食塩の重さを計算する。

6% の食塩水 200g に含まれている 食塩の重さは
200 \times 6\% = 200 \times 0.06 = 12(g)
11% の食塩水 300g に含まれている 食塩の重さは
300 \times 11\% = 300 \times 0.11 = 33(g)
よって、合わさった食塩水に含まれる食塩の重さは
12 + 33 = 45(g)
合わさった食塩水全体の重さは  200 + 300 = 500 (g)であるため、求める食塩水の濃度は、
45 \div 500 \times 100 =\frac{45 \times 100}{500}=\frac{45}{5}= 9(\%)
Ans … 9%

つまり、塩の重さと 水の重さを足した、「食塩水の重さ」全体 に対して、塩がどれくらいあるのか? が、食塩水の濃度となります。

さて、つぎに もっと簡単に、もっとスピーディーに解く、「スーパー天秤法」で見てみましょう!!

食塩水問題のスーパー天秤法での解法

濃度の直線を描く

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薄い濃度を左に、濃い濃度を右に書きます。

食塩水の重さを 「重り」のように吊るす

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6% 側に 200g ・ 11% 側に 300g の重りを吊るします。

天秤がつりあうのは??

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スーパー天秤法の名前の由来にもなりますがw この天秤がつりあう支点を考えてみましょう。
食塩水の濃度は一旦無視します。
左の重さが200g 右の重さが300g ですと、腕の長さの比は 逆比となり
 300 : 200 = 3 : 2
となります。

濃度の直線を描く

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ここで、濃度の差に注目します。濃度の差は、
11 – 6 = 5(%)
この 5% を 3 : 2 に分けるので、腕の長さは 左側から 3%の長さ 右側から 2%の長さ となります。
よって、求める濃度は
6 + 3 = 9(%)
もしくは 11 – 2 = 9(%) となります。

なれた時の解答例

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「濃度」と「重さ」を書いて、そのつりあう比を描きます。
図より
 6 + (11 - 6) \times \frac{3}{3 + 2} = 9 (%)
Ans… 9%

なぜ、スーパー天秤法が使えるの? 教え方。

使い慣れると便利な「スーパー天秤法」ですが、どうして このような計算ができるのか? 面積図を使って考えましょう。

元々の食塩の量を面積図にする

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底辺を 食塩水の重さ。高さを 濃度として面積図を書きます。
ここで 左側の長方形の面積は 6% 200g の食塩水の 食塩の量。右側の長方形の面積は 11% 300g の食塩水の 食塩の量。を表しています。

食塩の量を面積図にする

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混ぜて、出来た 食塩の量は、長方形を2つ合わせた 緑色の面積となります。
ですが… 2つの食塩水を混ぜて出来た食塩水が、ある部分が6% で ある部分が11% という事はあえりません。
均等に混ざり、同じ濃度となるはずです。
図で表すと、
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このようになり、”新しく”混ざり合った濃度となります。

図形が変わった場所に注目

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元々の長方形が2つ合わさった 図形に比べて変化した部分に注目します。
200g の 食塩水 は 青長方形(濃度変化はわかりません) が増えています。
300g の 食塩水 は 赤長方形(濃度変化はわかりません) が減っています。

ポイント!! 食塩の量は変わらない!!!

全体の食塩の量は変わっていないので、青長方形赤長方形の面積は等しくなります。

図形の面積に注目して計算する

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食塩水の事は忘れて、図形の面積問題として考えます。
青長方形赤長方形 の 横辺の比は 200 : 300 = 2 : 3
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求めたいのは、青長方形赤長方形 の 縦辺です。
青長方形赤長方形の面積は等しいので、縦辺の長さ の 比 は 横辺の長さ の 比 の逆比となります。
※ 逆比については、次の投稿をご参考ください → 逆比とは、比を逆にすればいいの?
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よって、縦辺の長さの比は 3 : 2 となります。
縦辺の長さの合計は 11 – 6 = 5(%) であるので、青長方形の縦辺 は  5 \times \frac{3}{3 + 2} = 3 (%) となります。
よって、求める 濃度は、元々の縦辺 6% に加えて、6 + 3 = 9(%) となります。

まとめ

大変長いエントリーとなってしまいましたが… 食塩水の問題は、この「スーパー天秤法」を使ってほとんどの問題が、スピーディーに解けます。
なれるまでは、何度も 同じような 問題を解いてくださいね♪

スタンダードの解答に間違いがあり、訂正いたしました。(こちらの 投稿は 訂正済みとなります)ご指摘下さりありがとうございました。


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