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知ってましたか? 11の倍数の見つけ方♪見分け方♪

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例題

175428 は 11の倍数ですか?

今回は、倍数の見分け方 2桁の 11の倍数の見分け方です。

11の倍数の見つけ方

11の倍数の見つけ方

各位を一つ飛ばしに足した”和”の”差”が11の倍数もしくは0であれば、その数は11の倍数である。

例題の解答

175428 を計算してみましょう。
一つ飛ばしに色を塗り分けてみますと 175428 。
そして、それぞれの和を計算します。
赤の和 1 + 5 + 2 = 8
青の和 7 + 4 + 8 = 19
19 – 8 = 11
11 は 11の倍数ですので 175428 は 11の倍数です。

なぜ そうなるのか??

1. 数字を abcdef だとします。
※ 数学的に (abc) と書くと a × b × c の事を意味しますが、今回は便宜的に abc の事を表します。
<例> a=5, b=7, c=4 の場合 (abc) は 574 すなわち 五百七十四 を表します。)
2. abcdefa × 100000 + b × 10000 + c × 1000 + d × 100 + e × 10 + f
= a × ( 100001 – 1 ) + b × ( 9999 + 1 ) + c × ( 1001 – 1 ) + d × ( 99 + 1 ) + e × ( 11 – 1 ) + f
= a × 100001 – a + b × 9999 + b + c × 1001 – c + d × 99 + d + e × 11 – e + f
= 11 × ( a × 9091 + b × 909 + c × 91 + d × 9 + e ) – a + bc + de + f
= 11 × ( a × 9091 + b × 909 + c × 91 + d × 9 + e )( b + d + f ) – ( a + c + e )
3. 2.の式の 下線部は11の倍数 である。よって、残りの ( b + d + f )( a + c + e ) の差 が 11の倍数であれば、abcdef は11の倍数である。
※ ( a + c + e ) が ( b + d + f ) より 大きくなった場合でも成り立ちます。

11の倍数の見つけ方のポイント

2桁目 は 10 + 1 = 11 に注目する。
3桁目 は 100 – 1 = 99 = 9 x 11 に注目する。
4桁目 は 1000 + 1 = 1001 = 91 x 11 に注目する。
5桁目 は 10000 – 1 = 9999 = 909 x 11 に注目する。
つまり、
偶数桁目 では +1 する。奇数桁目 では -1 する。ことによって、11の倍数を作ることが出来ます。

正直、小学生一人でこの法則を見つけるのは難しいと思います…。

というか、私も小学生時代、塾の先生に教えてもらうまでは気づきませんでした。
121 とか、484とか、3桁で 差が0 となる!! という部分までは 自力で気づいたんですけど…

中学受験においても、ズバリ「○○○は11の倍数ですか?」なんて問題はでないと思いますし、11の倍数かどうかを考える機会も ほとんど無いかと思います。

「じゃぁなんでこんな法則紹介しているの??」と鋭い突っ込みが入ってきそうですが…(汗)

それは、3桁における11の倍数の法則をなんとなぁ~く(厳密ではなく)、子どもたちに見つけて欲しいからです。
子どもたちが法則を見つけたら、上に示した一般論を教えてあげてください。より理解が深まると思います。

※ ちなみに、3桁の11の倍数を何個か書いておきますと…
121 , 242 , 737 …    ねっ!! なんとなぁ~く法則がありそうでしょ(笑)


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