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みんなが知ってる方法より簡単!!3の倍数の見つけ方♪見分け方♪

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例題

194826357 は 3の倍数ですか?

頭ごなしに3で割るのはめんどくさそうですね… ということは、法則がありますよ。

一般的に紹介されている3の倍数の見つけ方

3の倍数の見つけ方

各位の数字の和が 3で割り切れれば、その数字は 3の倍数である。

例題の解答

194826357 を計算してみましょう。
各位の和を求めるという事は
1 + 9 + 4 + 8 + 2 + 6 + 3 + 5 + 7 = 45
45について 同じ計算を行う 4 + 5 = 9
9 は 3 で割り切れるので、元の数字 194826357 は 3の倍数である。

なぜ そうなるのか??

数字を (abc) だとします。
( ※ 数学的に(abc) と書くとa \times b \times c の事を意味しますが、今回は便宜的に abc の事を表します。
<例>  a=5, b=7, C=4 の場合 (abc) は 574 すなわち 五百七十四 を表します。)
 (abc) = a \times 100 + b \times 10 + c
 = a \times ( 99 + 1 ) + b \times ( 9 + 1 ) + c
 = a \times 99 + b \times 9 + a + b + c
 = a \times 33 \times 3 + b \times 3 \times 3 + ( a + b + c )
 = 3 \times ( a \times 33 + b \times 3 ) + ( a + b + c )
この 式より、前半の  3 \times ( a \times 33 + b \times 3 ) は、3の倍数 ですので、後半の ( a + b + c ) が3の倍数であれば、 (abc) は 3の倍数となります。

3桁の数字で説明しましたが、桁数が増えても説明できます。
詳しく証明もできますが、小学生には、以上の説明の  a,b,c に具体的な数字を入れて、教えてあげると 分かりやすいと思います。

でも、全ての桁を足し算するって、結構 面倒くさいですよね… なので、もう一歩進めた 簡単な方法がありますよ♪

各位から、3の倍数が消えれば、3の倍数!!

新!! 3の倍数の見つけ方

1. 各位の数字に 3 の倍数もしくは 0 があったら消す
2. 残った 各位の数字の中で 和が 3の倍数となる組み合わせを消す
3. 全ての数字が消えたら 3 の倍数 !!

具体的に見ていきましょう

例題の 194826357 が 3の倍数かどうか? を調べていきます。
1. 1 9 4 8 2 6 3 5 7 のうち、0 , 3 , 6 , 9 を消します。
03times001
2. 足して 3 の 倍数になる 組み合わせを 消します。
03times002
03times003
全て消えたので、194826357 は 3の倍数です。

全ての位の和を求めるより 簡単ですよね。

では なぜそうなるのでしょうか?

各位の和を3で割るということを1つの式で書いてみると
 ( 1 + 9 + 4 + 8 + 2 + 6 + 3 + 5 + 7 ) \div 3 = \frac{( 1 + 2 ) + ( 4 + 8 ) + ( 5 + 7 ) + 9 + 6 + 3}{3}
 = \frac{3 + 12 + 12 + 9 + 6 + 3}{3} = \frac{3}{3} + \frac{12}{3} + \frac{12}{3} + \frac{9}{3} + \frac{6}{3} + \frac{3}{3}
ということで、足し算を全部最初にしてしまっても、所々でまとめてしても 結局は 3で割れるかどうか? の判定は 同じことになります。

まとめ

3の倍数の見つけ方は、「各位の数字の和が 3で割り切れれば、その数字は 3の倍数である。」
でも、実際に見つけるときには、「各位で単独 もしくは 足して3の倍数になる数字 を探して消していく♪」が簡単で早いですよ♪


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