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言われて納得!8の倍数の見つけ方♪見分け方♪

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例題

584216696 は8の倍数ですか?

一般的に紹介されている 8の倍数の見分け方

8の倍数の見分け方

下三桁が8の倍数であれば、その数字は 8の倍数である。

例題の解答

584216696 を計算してみましょう。
下三桁 は 696 です。
 696 \div 8 = 87
割り切れましたので、584216696 は 8の倍数です。

なぜ そうなるのか??

1. 数字を (abcdef) だとします。
※ 数学的に (abc) と書くと a × b × c の事を意味しますが、今回は便宜的に abc の事を表します。
<例> a=5, b=7, c=4 の場合  (abc) は 574 すなわち 五百七十四 を表します。)
2. abcdef = abc x 1000 + def
3. 1000 = 8 x 25 なので、1000 は 8 の倍数です。
4. よって、abc x 1000 は 8 の倍数であるため、def が 8 の倍数であれば、abcdef は 8 の倍数となる。

下三桁が 8 の倍数かどうか? を計算するのも、若干めんどくさいですね… なので、さらに 考えを進めましょう。

マティラ式!! 8の倍数の見分け方

1. 下三桁を2で割る。 (※ 割れなければ 8の倍数ではない)
2. 2で割った答え(商)の下二桁が4の倍数であれば、元の数字は8の倍数である。

例題の解答

584216696 を計算してみましょう。
下三桁 は 696 です。
 696 \div 2 = 348
348 の下二桁である 48 は、(暗算で) 4の倍数であるから、584216696 は、8の倍数。

これなら、暗算できると思いますよ。

間違いやすい! 8の倍数の見分け方の間違った考え方!!

6 の 倍数の見分け方は、2 の倍数の見分け方 と 3 の倍数の見分け方 の両方を満たしている事です。
では、8 の倍数は 8 = 2 \times 4 であるため、2 の倍数の見分け方 と 4 の倍数の見分け方 の両方を満たしてれば良いのでしょうか?

2 と 4 の倍数の見分け方(コレは正解です)

2の倍数 → 一の位が2の倍数であれば、その数字は2の倍数である。
4の倍数 → 下二桁が4の倍数であれば、その数字は4の倍数である。

例題

324 は8の倍数ですか?

324 が 2の倍数 かつ 4の倍数であるか? 確かめましょう

もし、 8の倍数の見つけ方が 2の倍数の見つけ方と4の倍数の見つけ方両方を満たしていれば良いと仮定して解いていきましょう。
1. 324の一の位は 2の倍数。よって、324は2の倍数
2. 324 の 一の位と十の位は 2424 は 4の倍数。よって、324は4の倍数
3. 324 は 2の倍数であり、4の倍数であるので 8の倍数である。

では、本当に 324 は 8の倍数でしょうか? 実際に計算してみると、
 324 \div 8 = 40 ... 4
おっと、あまりが出てしまい、324 は 8 では割りきれません。
つまり、324 は、8の倍数ではありません。

では、どうしてこのような 間違いとなってしまったのでしょうか?

なぜ 8の倍数は、2の倍数と4の倍数の見つけ方では判別できないのか?

上記1. では、324 が 2 で割り切れる事を示しています。式で表すと 324 ÷ 2 = 162
また、2.では、324が 4 で割り切れる事を示しています。 324 ÷ 4 = 81
ここに、問題を解りにくくしているポイントがあります。 2. の 式を分解していきましょう。
324 ÷ 4 = 324 ÷ 2 ÷ 2 = 81
2で2回割っていますよね。つまり、4で割り切れるという事は 2で割り切れる事を すでに含んでいるのです。
言い換えれば、4で割り切れると証明できている数字は、必ず 2で割り切れるのです。
つまり、4で割り切れる数字を あらためて、2で割り切れる事を証明したところで、何も 新しい発見は無い事になります。
よって、8の倍数の見つけ方が 2の倍数の見つけ方と4の倍数の見つけ方両方を満たしていれば良いという 仮定 は間違っているのです。

と、8の倍数は 2と4 の倍数だから、見分け方も「2の倍数の見分け方」と「4の倍数の見分け方」の両方を満たしてたら良い!! と 考えてしまうと間違えですので、注意してくださいね♪


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