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海外のかけ算暗算テクニック!ひっ算より早い!?

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ネット上で、インドやアメリカで生み出されたかけ算の暗算テクニックが人気のようです。それぞれ、なぜそうなるのか? を考えてみましょう。

1. インド式線を使った2桁のかけ算

1.1 インド式かけ算

21 \times 13 =
インド式 線かけ算
線を書いて、その交点を数える方式です。
これは、超簡単! 九九を知らない、1年生でも出来る方法ですね♪

1.2 なぜそうなるのか?

線を書く、一桁のかけ算を考えてみましょう。
3 \times 4 を線で考えると、3本の線と4本の線と 交わる部分(交点)を数えています。
3本の線に1本線を引くと交点は3つ。もう1本引くと、増える交点は3つ。そして、もう一本引くと、増える交点は3つ…。
と、1本線を引くと 3つずつ 交点が増えていきます。
式で表すと3 + 3 + 3 + ....となります。
つまり、3本と4本の交点を数えるという行為は、3 \times 4かけ算の答えを導きます。
さて、21 \times 13をひっ算で解くと、
インド式 線 かけ算
それぞれを見ていくと…
一の位は 1 \times 3 = 3
十の位は 2 \times 3 = 6, 1 \times 1 = 1, 6 + 1 = 7
百の位は 2 \times 1 =2
の計算をしています。改めて、インド式線を使ったかけ算を見ると
インド式 線 かけ算
一・十・百 の位で それぞれ、線の交点を数えてますので、結果的に、やっている計算はひっ算と同じです。

1.3 この方式の落とし穴とメリット

交点を数えていく方法なので… 98 \times 64 とかになると、数えるのが大変です(笑)
大きな数字になると、九九を使ってひっ算をした方が、早く計算が出来ますね。
しかし!!! この インド式線かけ算は、九九を知らなくてもかけ算ができる!! という点で、九九を知らない2年生や、2桁のかけ算の導入に使うと子どもたちの理解度が増えそうですね♪

2. アメリカ式引き算を使った 2桁の暗算

2.1 暗算方法

アメリカ式 2桁かけ算の暗算
100からそれぞれの数を引いた答えを書きます。
100 - 92 = 8
100 - 96 = 4
を求めます。8 + 4 = 12
8 \times 4 = 32
100からその和を引いた数並べて書けば、答えがでますよ♪
100 - 12 = 88
よって、
92 \times 96 = 8832

確かに、わかりやすいく、簡単に暗算出来そうですね。

2.2 なぜそうなるのか?

数学的に考えてみましょう。
2桁の数 AB の積 A \times Bは?
ここで、A = 100 - a, B = 100 - bおくと、
A \times B = (100-a)(100-b) = 100\cdot100-100(a+b)+ab = 100(100-(a+b))+abとなります。
つまり、「aとbの和を100から引いたもの」を100倍した数 と 「a と b の積」のになります。
ここで、言葉遊びなのですが…
「aとbの和を100から引いたもの」を100倍 というのは、「a と b の積(が2桁であれば)」の左横に書けば、良いことになります。
なので、上に書いた暗算方法って便利そうですよね♪

2.3 この方式の落とし穴

確かに、最初に書いた問題、$92 \times 96$ の計算をするには、やりやすそうですが、100から離れれば離れるほど、計算が面倒なことになります。
また、a \times b が 1桁の場合は、10の位に 0 を書くことを忘れないようにしなければいけません。
例) 98 \times 97
アメリカ式 2桁の暗算
さらに a \times b が 100を超えると、やり方自体が破綻します。
例) 74 \times 87
アメリカ式 2桁かけ算
まず 100 との差である、26 と 13 の積 26 \times 13 = 338 が暗算するのが、ちょっと面倒
100-(26+13)=61 と 先ほどの 338 を並べると… 61338となり答えにならない。
これは 338 の100の位 3 を繰上げて 61 + 3 = 64 として、64 と 38 を並べれば 74 \times 87 = 6438になりますが…
この、計算方法は 90台 \times 90台 の時だけ、威力を発揮しそうです。

3. 二桁 × 11

3.1 11倍のインド式かけ算

11のかけ算
もう、この方式になると… ひっ算を暗算しているだけですから…
テクニックでもなんでもないような気がします…

3.2 なぜそうなるのか?

35 \times 11をひっ算で考えましょう
11のかけ算
11 を かけるので、十の位も、一の位も 35 を書くことになります。
なので、百の位は 3 十の位は 3 + 5 = 8 一の位は 5となり、上記のテクニックが成り立ちます。

3.3 この方式の落とし穴

35 \times 11では ステキなテクニックに見えるかもしれませんが、68 \times 11 では、出来ません。
というのも、ひっ算を見れば一目瞭然ですが…
11のかけ算
この場合、6 と 8 の間に ( 6 + 8 = ) 14 を差し込めば良いのではなく、14 の 1 を繰上げて、748 が答えとなります。
なので、35 \times 11 を例にあげて、「凄い!!」っていうのは 若干 ひきょうな感じがしますねw

4. まとめ

世界中には、まだまだ色々な かけ算の暗算方法があるかと思いますが…
中学受験算数においては、2桁以上のかけ算はひっ算をした方が、確実じゃないかなぁ と 思います。


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