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等差数列は植木算かもしれない!?

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【例題 】

4, 10 ,16, 22, 28, ・・・・・ のような等差数列があります。

  1. 8番目の数字は何ですか。
  2. 78番目の数字は何ですか。
  3. 2020は何番目の数字ですか。

1.そもそも等差数列ってなに??

その名の通り、差が等しい数列となります。

例題で見ますと、4 と 10 の差は6。10 と 16 の差は 6 と、常に 隣り合う2つの数の差が 6 となっている数列です。

等差数列

2.例題の解答

2.1 8番目の数字は??

この例題では、隣り合う数字の差が6である等差数列ですので、8番目まで書いていきましょう。と、言っても 5番目の28までは問題に書いてありますので、6番目以降を計算しましょう。

番目 6 7 8
数字 28 34 40

よって、8番目は 40となります。

2.2 78番目の数字は??

先ほど、8番目まで計算しましたので、78番目まで計算していきましょう!!

って、それは 大変そうですよね… 78番目であれば、やって出来なくは無いですが… 「2016番目は何?」という 問題であれば、その1問を全部書いているだけで テストが終わってしまいそうです(笑)

そこで、等差数列の規則性に目を付け、植木算の考え方を導入しましょう。

この等差数列を植木算的な目線で見ると、

等差数列を植木算で考える

4と書かれた旗から始まって、6m毎に 旗が立っています。その旗に書かれている数字は ひとつ前の数字に6(m)を足した数です。

そう考えると、例えば、6番目の旗に書かれている数字は、

等差数列を植木算で考える

6番目の旗と、1番目の旗との間にある間隔の数は 6-1=5 個 6mの間隔が5個あるので、1番と6番との旗の間隔は、6×5=30m となります。

また、1番の旗の数が4なので、6番の旗の数は 4+30=34であることがわかります。

同じ考え方で、実際の問題である、78番目を考えましょう。

等差数列を植木算で考える

78番と1番の旗の間にある間隔の数は、78-1=77個 (植木算の考え方)。6mの間隔が77個あるので、1番と78番との旗の間隔は、6×77 =462m となり、1番の旗に書かれている数が4なので、4+462=466。 よって、78番目の数は 466

2.3 2020が何番目か?を考える。

答えや問題に その年の西暦が入っている問題って多いですよね~w。 例題は TOKYOオリンピックイヤーにしてみました。

等差数列を植木算で考える

2020と書かれた旗は、4と書かれた1番目の旗とは 2020-4=2016m 離れています。一つの旗と旗との間は 6m 離れているので、2016\div6=336 個分だけはなれています。

よって、植木算の考え方を使い、間の数が336 なので、旗の数は 336+1=337

つまり、2020と書かれた旗は、337番目となります。

3. 等差数列は植木算だった!?

例題で見てきたとおり、等差数列の解き方の根底にあるのは植木算となります。

なので、植木算を学習している子に対しては、等差数列という全く新しい事を習うというより、植木算の延長で説明した方が、理解しやすいですよ。


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