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等差数列の公式は覚えずに、自分で15秒で作ろう♪

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1.数学で習う公式

初項a,項差d,項数nである等差数列の和S_nは、

S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}

また、初項a,末項l,項数nが分かれば、この等差数列の和S_nは、

S_n=\frac{n(a+l)}{2} とも 表すことが出来ます。

と… 小学生向けには、さっぱりわからない内容ですねw。実際 私もこの公式は覚えていません。なぜかって言うと、公式を忘れたから解けない!! という考え方ではなく、公式知らなくても解ける方が、受験等 プレッシャーのかかる場面で 強いと思うからです。

2. 実際に考えてみよう

2-1. 1~10までを足してみる

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 この 1~10の数は、1から始まる 等差 1 の 等差数列とも言えます。
この等差数列の和を求めるには

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 を計算すればよいですね。少し 工夫して計算すると…

等差数列 和の公式

和が10になる 組 (1,9 ) ( 2,8 ) ( 3,7 ) ( 4,6 ) の4つと、残りは 5 と 10なので、10\times5+5=55 と計算できます。

2-2. 1~10までを別の方法で足してみる

1+2+・・・+9+10 を 逆順に書いて並べてみましょう

等差数列 和の公式

順番を変えただけですので、上の式と下の式の答えは一緒ですね。

次に この2つの式を 縦方向で足してみましょう

等差数列 和の公式

すると… 1+10=11 , 2+9=11 \dots と、縦方向で足した答えは 全て 11 となります。

この 11 が 1~10まで 10個 あるので、上下の式の和は 10\times11=110

これは、元々の 1~10までの和 の2つ分だから、1つの式の和は 110\div2=55 となります。

2-3. 数学の公式と比較してみる

S_n=\frac{n(a+l)}{2}  (初項a,末項l,項数n

つまり、等差数列の公式とは、

  1. 等差数列の和の式を 逆から書いて足す
  2. その時 縦方向の和は 最初の数(初項)と最後の数(末項)の和になっている。
  3. その縦方向の和を、等差数列の数(項数)だけ掛ける
  4. 求めたい式の2個分 なので、最後に 2で割る

という、算数の考え方を 数式で表しただけです。

つまり、公式を覚えてなくても 等差数列の和は求めることが出来ます

3. 実戦問題

4, 10 ,16, 22, 28, ・・・・・ のような等差数列があります。78番目までの和はいくつですか。

3-1. 78番目を計算する

等差数列を植木算で考える

等差数列は植木算かもしれない!?で詳しく説明していますので、式だけ書くと 78番目は、

4+6\times(78-1)=466 となります。

3-2. たし算をひっくり返して並べる

つまり、78番目までの和とは、 4+10+16+・・・+460+466 の答えとなります。このたし算を計算するために、順番をひっくり返してみましょう。

等差数列 和の公式

そして、縦の和を計算すると、4+466=470 となり、これは、どの縦を足しても 470 となります。

この縦の列は、78個 ありますので、その合計は 470\times78=36660

この数値は 求めるべき 4+10+16+・・・+460+466  の 2個分ですので、求めるべき 78番目までの和は、2で割って

36660\div2=18330 となります。

3-3. 式をまとめる

3-1. と 3-2. で行った計算式をまとめて書くと、

\{4+6\times(78-1)+4\}\times78\div2 となり、これはまさに

初項a,項差d,項数nである等差数列の和S_n

S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}公式と同じ計算式となります。

今回の問題は、初項 a=4、項差d=6、項数n=78なので、公式に当てはめると

S_{78}=\frac{78\times\{2\times4+(78-1)\times6\}}{2}=18330 (算数なので掛け算は、\timesを使用しています。)

4. まとめ

初項a,項差d,項数nである等差数列の和S_nは、

S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}

また、初項a,末項l,項数nが分かれば、この等差数列の和S_nは、

S_n=\frac{n(a+l)}{2}

結論として、この2つの公式は覚えなくても良いと思います。覚えるにしても、暗号のように繰り返すのではなくどうしてこのような式(公式)が導き出されるか?を意識してくださいね。

なので、私は覚えていませんし、子ども達にも公式として教えたことはなかったりします。


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