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3つのつるかめ算は、2つに減らしてスッキリ理解♪

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つるかめ算に、さらにもう一つ、分からないモノがある場合です。
つるかめ虫算とか、言ったりもします。※ 虫は足が6本ですので、鶴2本、亀4本となり問題が作れます。
まぁ つるかめくも算にしても良いのですがw さて、例題です。

例題

翼くんは、60円、90円、120円の3種類の切手を合わせて17枚買って1440円となりました。60円の切手は90円の切手の2倍の枚数を買いました。それぞれの切手の枚数は何枚になるでしょうか。

参考書とか見ていると、未だに「太郎君は、とか 花子さんは、」という問題の書き出しをよく見るのですが…
現在、統計的には、翼くんとかのほうが多いので、翼くんにしてみましたw
って、ポイントはそこじゃないですよね… (失礼しました)

3つのつるかめ算のポイント

新しい切手を作って2つのつるかめ算にする!

新しい切手とは、何かといいますと…
問題文には、60円の切手は90円の切手の2倍の枚数を買いました。と書いてあります。
つまり、
90円が0枚だと、60円は 0 × 2 = 0 枚
90円が1枚だと、60円は 1 × 2 = 2 枚
90円が2枚だと、60円は 2 × 2 = 4 枚
以下、続く…となります。
つまり、90円 と 60円 の切手は常に、90円が1枚と60円が2枚のセットとなります。
翼くんが、このセットを何セット買ったか? はわかりませんが、この切手セットの1セットの値段は、
90 \times 1 + 60 \times 2 = 210 円となります。
1セットに3枚の切手が入っているので、このセットの中にある切手の平均値段は、
210 \div 3 = 70 円となります。
この 70円が新しい切手となります。

この 新しくつくった 70円切手を使って問題文を読み替えてみましょう。

読み替えた問題を解く

新しい問題

翼くんは、70円、120円の2種類の切手を合わせて17枚買って1440円となりました。それぞれの切手の枚数は何枚になるでしょうか。

シンプルになりましたね♪
ここまでくれば、普通のつるかめ算で解くことができます。

面積図を使った解答法

とりあえず面積図を書く

3つの数のつるかめ算
ココでは、ポイントのみ書いていきますので、詳しい面積図を使ったつるかめ算の解答は、リンク先を参照して下さい。
まずは、適当にw 縦に価格、横に枚数を書いていきます。
3つの変数のつるかめ算
価格 × 枚数 = 購入金額ですので、この図の面積が購入金額となります。

全部が120円の切手と仮定する

3つの変数のつるかめ算
120(円) × 17(枚) = 2040円

元の面積図との差を考える

上の2つの図を重ねあわせると…
3つの変数のつるかめ算
本当は、70円の切手もあるので、赤い部分が本当の購入金額との差として現れます。
全てが120円切手だった場合の面積は 2040 でしたので、問題文の 1440 との差は、
2040 – 1440 = 600 となります。※ 面積ですが、単位は円です。
この 赤い部分の 縦の長さは、120円切手 と 70円切手 の差なので、
120 – 70 = 50
よって、赤い部分の横の長さは、
600 \div 50 = 12
赤い部分の横の長さと、青い部分(70円切手の枚数)は等しいため、
70円切手の枚数は 12枚
120円切手の枚数は 17 – 12 = 5枚 となります。

70円切手って何だっけ?

そんな 切手はなかったですよねw
70円切手の正体は、90円が1枚と60円が2枚の合計3枚セットの平均でした。
なので、
90円切手は、
12 \times \frac{1}{1+2} = 4
60円切手は、
12 – 4 = 8
となります。
よって、答えは
Ans. 60円切手 8枚, 90円切手 4枚, 120円切手 5枚

グラフを使った解答法

全て120円もしくは70円だった場合のグラフを書く

3つの変数のつるかめ算
ココでは、ポイントのみ書いていきますので、詳しいグラフを使ったつるかめ算の解答は、リンク先を参照して下さい。
全て70円切手だった場合、枚数に対する総額のグラフは上図になります。
3つの変数のつるかめ算
上図は全て120円切手だった場合です。
この二つのグラフを合わせると、
3つの変数のつるかめ算
となります。
しかし、実際の切手購入金額の合計は 1440円ですので、何枚か120円切手を買って何枚かは70円切手を買っていることとなります。
3つの変数のつるかめ算
グラフに表すとこのようになります。

図形の問題だと思って解く

先ほどのグラフを図形の問題として見てみましょう
3つの変数のつるかめ算
※ 縦横の長さが全然違いますが、気にしないでおきましょう。
\triangle{ADE} \triangle{ABC}
(※ ∽ は、相似であることを示すマーク。)
このことから、
\overline{BG} : \overline{DF} = \overline{AC} : \overline{AE}
17 : \overline{DF} = (600+250) :250
\overline{DF} = 12
よって、辺DF = 70円切手の枚数 = 12 枚
120円切手の枚数 = 17 – 12 = 5 枚となります。
70円切手12枚とは、60円切手と90円切手の仮の姿でしたので、元の姿に戻す(面積図で解を参照して下さい)と、60円切手 8枚、90円切手 4枚となります。
よって、答えは
Ans. 60円切手 8枚, 90円切手 4枚, 120円切手 5枚

3つのつるかめ算とは

必ず、問題に ヒント(今回の場合は、60円の切手は90円の切手の2倍の枚数を買いました。)があって、そのヒントを使うと 2つのいつものつるかめ算になりますよ♪


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