おうぎ形の弧・底面の円周の長さに注目
色を付けわかりやすく
おうぎ形には青色。底面は赤色をつけました。
円すい (立体図)
展開図の青いおうぎ形は
展開図の赤い円は
となり、青いおうぎ形の弧の長さ と 円の円周の長さは、等しくなります。
円周の長さを求める
赤い円の円周の長さは
$直径\times3.14=3\times2\times3.14=18.84 cm$
おうぎ形の中心角を求める
おうぎ形の弧の長さは、円の円周と同じ長さなので $18.84cm$
また、このおうぎ形の元となった円(半径$5cm$)の円周の長さは、
$5\times2\times3.14=31.4cm$
おうぎ形の弧の長さと、元の円周(半径$5cm$)の長さを比べると
$18.84\div31.4=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$
よって、おうぎ形は円の$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$であるから、求める中心角は
$360^\circ\times\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}=\underline{216^\circ \dots Ans.}$
計算のコツ
円周率$3.14$等、面倒な数値が入る計算は後回しにした方が良い
$(3\times2\times3.14)\div(5\times2\times3.14)=\frac{\displaystyle 3\times2\times3.14}{\displaystyle 5\times2\times3.14}$
分母と分子に$2\times3.14$があるので、消すと計算が楽になります
公式と公式を使った解答
公式
おうぎ形の半径を$R$、底面の円の半径を$r$ とすると 求める中心角$\theta^\circ$は
$\textcolor{red}{\theta=360^\circ\times\frac{\displaystyle r}{\displaystyle R}}$
解答
公式の作り方
円すい展開図・中心角の公式 の求め方
おうぎ形の弧の長さ$L$は
$\textcolor{blue}{L}=R\times2\times3.14\times\frac{\displaystyle \theta}{\displaystyle 360^\circ}$
式を変形して$\theta=$の形にすると
$\theta=360^\circ\times\textcolor{blue}{L}\div(R\times2\times3.14) \dots ①$
また、底円の円周の長さ$l$は
$l=r\times2\times3.14$
$L=l$ より、$L=r\times2\times3.14$を$①$に代入して
\begin{eqnarray}
\theta&=&360^\circ\times\textcolor{blue}{r\times2\times3.14}\div(R\times2\times3.14)\\
&=&360^\circ\times\frac{\displaystyle r\times2\times3.14}{\displaystyle R\times2\times3.14}\\
&=&\textcolor{red}{360^\circ\times\frac{\displaystyle r}{\displaystyle R}}
\end{eqnarray}
まとめ
公式を覚えなくても、おうぎ形の弧の長さと底円の円周の長さが等しい事を使って計算できます。
また、$2\times3.14$の計算を後回しにし、分数の分母分子で消してやると、結局は公式と同じ計算になります。
