円すいの展開図、側面積の求め方！公式を使って15秒で解こう♪

この円すいの側面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

公式を使った解答

解答

公式$側面積 S = r\times R\times 3.14$より、求める側面積は

$3\times5\times3.14=\underline{47.1 cm^2 \dots Ans.}$

公式を使わない解答

おうぎ形の弧の長さを求める

展開図を組み立てた円すいより、おうぎ形の弧の長さは、底円の円周の長さと一緒になります。

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周と同じ長さなので

$ (底面の円周) = 3\times2\times3.14 = 18.84 cm$

また、このおうぎ形の元となった円(半径$5cm$)の円周の長さは

$5\times2\times3.14=31.4 cm$

である。
このことから、おうぎ形の弧の長さと元の円周の長さを比べると

$18.84\div31.4=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$

よって、おうぎ形の面積は元の円の面積の$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$となり、求める面積は

$$ \begin{eqnarray}
5\times5\times3.14\times\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}
&=&5\times3\times3.14 \\
&=&\underline{47.1 cm^2 \dots Ans.}
\end{eqnarray}$$

計算のコツ

円周率$3.14$等、面倒な数値が入る計算は後回しにした方が良い

$$ \begin{eqnarray}
5\times5\times3.14\times\frac{\displaystyle 3\times2\times3.14}{\displaystyle 5\times2\times3.14}
&=&5\times\cancel{5}\times3.14\times\frac{\displaystyle 3\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}{\displaystyle \cancel{5}\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}\\
&=&5\times3\times3.14
\end{eqnarray}$$

分母と分子に$5, 2, 3.14$ があるので、約分すると計算が楽になります

円すい展開図・側面積の公式 の求め方

一つの式で書く

$底円の円周の長さ=r\times2\times3.14$

$半径Rの円周の長さ=R\times2\times3.14$

おうぎ形の弧の長さは、底円の円周の長さと同じ長さなので、

$おうぎ形の弧の長さ =r\times2\times3.14$

おうぎ形と半径Rの円を比べると

$\frac{\displaystyle おうぎ形の弧の長さ}{\displaystyle 半径Rの円周の長さ}=\frac{\displaystyle r\times2\times3.14}{\displaystyle R\times2\times3.14}$

よって 求める側面積は

$$\begin{eqnarray}
R\times R\times3.14\times\frac{\displaystyle r\times2\times3.14}{\displaystyle R\times2\times3.14}
&=&R\times\cancel{R}\times3.14\times\frac{r\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}{\displaystyle \cancel{R}\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}\\
&=&\textcolor{red}{R\times r\times3.14}
\end{eqnarray}$$

まとめ

結局は、公式を使わない解答の計算のコツで書いたように、後からまとめて計算をすれば公式が出来ます。

公式を知っていれば、タイトル通り15秒で答えがでますが、公式を知らなくても計算の工夫でスピーディーに答えを導き出せるようにしてくださいね。