円すいの展開図、表面積の求め方！公式があるの知っていますか?

この円すいの表面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

公式を使った解答

解答

公式 S = ( r + R ) ✕ r ✕ 3.14 より、求める表面積は

$(3+5)\times3\times3.14=\underline{75.36 cm^2 \dots Ans.}$

公式を使わない解答

おうぎ形の弧の長さを求める

展開図を組み立てた円すいより、おうぎ形の弧の長さは、底円の円周の長さと一緒になります。

おうぎ形の弧の長さは、底面の円周と同じ長さなので

$ (底面の円周) = 3\times2\times3.14 = 18.84 cm$

また、このおうぎ形の元となった円(半径$5cm$)の円周の長さは

$5\times2\times3.14=31.4 cm$

である。
このことから、おうぎ形の弧の長さと元の円周の長さを比べると

$18.84\div31.4=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$

よって、おうぎ形の面積は元の円の面積の$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$となり、おうぎ形の面積は

$$ \begin{eqnarray}
5\times5\times3.14\times\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}
&=&5\times3\times3.14 \\
&=&47.1 cm^2
\end{eqnarray}$$

また、底円の面積は

$3\times3\times3.14=28.26 cm^2$

よって、求める表面積は

$おうぎ形の面積+底円の面積=47.1+28.26=\underline{75.36cm^2 \dots Ans.}$

計算のコツ

円周率$3.14$等、面倒な数値が入る計算は後回しにした方が良い

$$ \begin{eqnarray}
表面積 S
&=&5\times5\times3.14\times\frac{\displaystyle 3\times2\times3.14}{\displaystyle 5\times2\times3.14}+3\times3\times3.14\\
&=&5\times\cancel{5}\times3.14\times\frac{\displaystyle 3\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}{\displaystyle \cancel{5}\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}+3\times3\times3.14\\
&=&5\times3\times3.14+3\times3\times3.14\\
&=&(5+3)\times3\times3.14
\end{eqnarray}$$

円すい展開図・表面積の公式 の求め方

一つの式で書く

$底円の円周の長さ=r\times2\times3.14$

$半径Rの円周の長さ=R\times2\times3.14$

おうぎ形の弧の長さは、底円の円周の長さと同じ長さなので、

$おうぎ形の弧の長さ =r\times2\times3.14$

おうぎ形と半径Rの円を比べると

$\frac{\displaystyle おうぎ形の弧の長さ}{\displaystyle 半径Rの円周の長さ}=\frac{\displaystyle r\times2\times3.14}{\displaystyle R\times2\times3.14}$

おうぎ形の面積は

$$\begin{eqnarray}
R\times R\times3.14\times\frac{\displaystyle r\times2\times3.14}{\displaystyle R\times2\times3.14}
&=&R\times\cancel{R}\times3.14\times\frac{r\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}{\displaystyle \cancel{R}\times\cancel{2}\times\cancel{3.14}}\\
&=&R\times r\times3.14
\end{eqnarray}$$

底円の面積は

$r\times r\times3.14$

よって求める表面積は

$$\begin{eqnarray}
おうぎ形の面積 + 底円の面積 &=&R\times r\times3.14+r\times r\times3.14\\
&=&\textcolor{red}{(R+r)\times r\times3.14}
\end{eqnarray}$$

まとめ

結局は、公式を使わない解答の計算のコツで書いたように、後からまとめて計算をすれば公式が出来ます。

この問題だけでなく、円すい展開図のポイントは、

おうぎ形の弧の長さ = 底円の円周の長さ

これが わかっていれば、公式を知らなくても、円すいの問題を解くことができます