2019年 開成中学 算数入試【1】

解答解説

いきなりの適性試験的な出だしで、戸惑いますが… 大学入試改革に合わせた出題でしょうか!? K君は開君、S君は 成君 で 開成 の KS かな? とも勘ぐっています。

ただ、内容は典型問題ですので、一つ一つ解いていきましょう

K君の2つと1つの時間比較

問題を図で表してシンプルにする

問題文を可視化して図に表すことが大事です。

言い換えると、図の 短い青色と 短い赤色の 「かかった時間」の和は、緑色の「最初の予定時間」の何倍ですか? ときいています。

スイカ2個 と スイカ1個で比べよう

この条件から スイカ1つの場合の速さをスイカ2つの場合の速さと比べると

$\begin{eqnarray}
80 \div 60 &=& \frac{\displaystyle 80}{\displaystyle 60}\\
&=& \textcolor{red}{\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}倍}
\end{eqnarray}$

速さが $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}$倍 という事は、同じ距離にかかる時間は 逆数の$\textcolor{red}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}$倍となります。

問題文の時間を求める

全行程にかかる時間がスイカ2個(最初の予定)の場合に比べて、$\textcolor{red}{\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 16}}$倍になっているので、スイカ1つを運んだ時間$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$を引くと

$\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 16} – \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \underline{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16}\dots(1)の答}$

(2)も速さの逆数を考える

おばさんの家からS君に出会うまでの距離 と 出会ってからおばさんの家までの距離は等しくなります。

速さの比は $100 : 80 = 5 : 4$ なので、同じ距離にかかった時間の比は、逆比となり、$\textcolor{red}{4 : 5}$ となります。

(1)の問題はヒント

おばさんの家から S君に出会った場所の往復にかかった時間は、(1) の解答より  $\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16}$であるから、

K君がS君と出会ってからおばさんの家に行くまでの時間は、

$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16} \times \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 4+5} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 48}$

• 自宅からおばさんの家まで スイカ1個を運ぶ時間 $\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$
• S君と出会ってからおばさんの家までスイカ1個を運ぶ時間 $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 48}$
• どちらも 速さは $80m/分$で一定

速さが等しいので、時間の比と、距離の比は等しくなります。

よって 求める距離は、2つの時間の割合より、

$\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 48} \div \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \underline{\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 36}倍\dots(2)の答}$

(3)は大胆に仮定する

(2)の答えが、 $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 36}$となりましたので、算数の魔法の言葉を使って、

自宅からおばさんの家まで 36 とする!!

よく 仕事算などで、「全体を1とする」と同じ感覚です。今回は (2)の答えの分母が 36でしたので 36と仮定しました。

K君がS君に出会うまでの時間

K君が自宅からおばさんの家まで1回目にかかった時間は、

$36 \div 80 = \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 20}$

K君がおばさんの家からS君と出会った時間は、

$36 \times \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 36} \div 100 =  \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}$

よって、K君が 自宅からS君に出会うまでの時間は

$\begin{eqnarray}
\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 20}  + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 20} &=& \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 20}\\
&=& \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdots A
\end{eqnarray}$

S君がK君に出会うまでの時間

S君がK君と出会った場所は

自宅から $36 \times \frac{\displaystyle 36-5}{\displaystyle 36} = 31$

先程の $A$の式より S君がK君に出会うまでの時間は

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

よって、S君が スイカ1個を持って進む速さは、

$31 \div\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \underline{62 m/分\dots(3)の答}$

まとめ

※ あくまでも、個人の解答例となりますので、答え 及び 解答は信頼できる塾等でご確認ください。