2019年 開成中学 算数入試【1】

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K君は、自宅からおばさんの家まで、スイカ2つを一人で運ぶつもりでした。ところが、弟のS君が「ぼくも手伝う!」と言ったので、次のようにしました。

1) K君とS君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。
2) K君の方がS君より進む速さが速いので、おばさんの家に先に着く。そこで、すぐにスイカを置いて、S君に出会うまで引き返す。
3) K君は、S君に出会ったらすぐにS君からスイカを受け取り、すぐにおばさんの家に向かう。

ここで、K君の進む速さは

  • スイカを2つ持っているときは 毎分 60m
  • スイカを1つ持っているときは 毎分 80m
  • スイカを持っていないときは 毎分 100m

です。

スイカ2つを運び終えたK君がおばさんの家で休んでいると、後から追いかけてきたS君が到着しました。
S君 「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」
K君 「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、そうするのに比べて、$\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 16}$ 倍の時間で運び終えられたからね。ありがとう!」
S君 「ほんと!? よかった!」
次の問に答えなさい。

(1) K君が一度目におばさんの家に着いてから、二度目におばさんの家に着くまでの時間は、K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の何倍ですか。
(2) 引き返したK君がS君に出会った地点から、おばさんの家までの距離は、自宅からおばさんの家までの距離の何倍ですか。
(3) S君がスイカを1つ持って進む速さは毎分何mですか。

開成中学 2019年 算数入試問題より引用

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解答解説

いきなりの適性試験的な出だしで、戸惑いますが… 大学入試改革に合わせた出題でしょうか!? K君は開君、S君は 成君 で 開成 の KS かな? とも勘ぐっています。

ただ、内容は典型問題ですので、一つ一つ解いていきましょう

K君の2つと1つの時間比較

問題を図で表してシンプルにする

問題文を可視化して図に表すことが大事です。

2019開成中学入試問題算数

K君が一度目におばさんの家に着いてから、二度目におばさんの家に着くまでの時間は、K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の何倍ですか。

言い換えると、図の 短い青色短い赤色の 「かかった時間」の和は、緑色の「最初の予定時間」何倍ですか? ときいています。

スイカ2個 と スイカ1個で比べよう

ポイントとなる3つの条件


  • 自宅からおばさんの家までの距離は等しい
  • スイカ2個だと 60m/分
  • スイカ1個だと 80m/分

この条件から スイカ1つの場合の速さをスイカ2つの場合の速さと比べると

$\begin{eqnarray}
80 \div 60 &=& \frac{\displaystyle 80}{\displaystyle 60}\\
&=& \textcolor{red}{\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}倍}
\end{eqnarray}$

速さが $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3}$倍 という事は、同じ距離にかかる時間逆数の$\textcolor{red}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}$となります。

問題文の時間を求める

全行程にかかる時間スイカ2個(最初の予定)の場合に比べて、$\textcolor{red}{\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 16}}$になっているので、スイカ1つを運んだ時間$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$を引くと

$\frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 16} – \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \underline{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16}\dots(1)の答}$

(2)も速さの逆数を考える

おばさんの家からS君に出会うまでの距離 と 出会ってからおばさんの家までの距離は等しくなります

2019開成中学入試問題算数

速さの比は $100 : 80 = 5 : 4$ なので、同じ距離にかかった時間の比は、逆比となり、$\textcolor{red}{4 : 5}$ となります。

(1)の問題はヒント

おばさんの家から S君に出会った場所の往復にかかった時間は、(1) の解答より  $\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16}$であるから、

K君がS君と出会ってからおばさんの家に行くまでの時間は、

$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16} \times \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 4+5} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 48}$

 

  • 自宅からおばさんの家まで スイカ1個を運ぶ時間 $\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$
  • S君と出会ってからおばさんの家までスイカ1個を運ぶ時間 $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 48}$
  • どちらも 速さは $80m/分$で一定

 

速さが等しいので、時間の比と、距離の比は等しくなります。

よって 求める距離は、2つの時間の割合より、

$\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 48} \div \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \underline{\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 36}倍\dots(2)の答}$

(3)は大胆に仮定する

(2)の答えが、 $\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 36}$となりましたので、算数の魔法の言葉を使って、

自宅からおばさんの家まで 36 とする!!

よく 仕事算などで、「全体を1とする」と同じ感覚です。今回は (2)の答えの分母が 36でしたので 36と仮定しました。

K君がS君に出会うまでの時間

2019開成中学入試問題算数

K君が自宅からおばさんの家まで1回目にかかった時間は、

$36 \div 80 = \frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 20}$

K君がおばさんの家からS君と出会った時間は、

$36 \times \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 36} \div 100 =  \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 20}$

よって、K君が 自宅からS君に出会うまでの時間

$\begin{eqnarray}
\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle 20}  + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 20} &=& \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 20}\\
&=& \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdots A
\end{eqnarray}$

S君がK君に出会うまでの時間

S君がK君と出会った場所は

自宅から $36 \times \frac{\displaystyle 36-5}{\displaystyle 36} = 31$

先程の $A$の式より S君がK君に出会うまでの時間は

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

よって、S君が スイカ1個を持って進む速さは、

 

$31 \div\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \underline{62 m/分\dots(3)の答}$

まとめ

速さと比の基本


  • 同じ距離の場合、かかった時間の比と、速さの比は、逆比となる
  • 速さが同じであれば、かかった時間の比距離の比等しい

※ あくまでも、個人の解答例となりますので、答え 及び 解答は信頼できる塾等でご確認ください。

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