直角二等辺三角形の面積を求める公式は… 覚えずに自分でつくろう!!

直角二等辺三角形の面積を算数で求める

補助線で高さを作る

辺BCを底辺とし、その高さは、直角に引いた赤い補助線ADとなります。

高さを求める

三角形ABCは、補助線により、三角形ABD と 三角形 ACD に分ける。

$\triangle ABC$ は、問題文より直角二等辺三角形であるから

$\angle ABD = 45^\circ$

$\angle BAD$を求めると、

$$ \begin{eqnarray}
\angle BAD &=& 180^\circ – \angle ABD – \angle BDA \\
&=& 180^\circ – 45^\circ -90^\circ \\
&=& 45^\circ
\end{eqnarray} $$

よって、$\textcolor{red}{\triangle ABC}$ は、$\angle ABD = \angle BAD = 45^\circ$ の直角二等辺三角形であり、$BD = AD$ となる

同様に $\textcolor{red}{\triangle ADC}$ も直角二等辺三角形となり、
$\triangle ABD$と$\triangle ADC$は、辺ADの長さが等しい事より、合同な直角二等辺三角形となります。

よって、$AD = 5cm$

面積の計算をすると

求める面積は、(底辺) ✕ (高さ) ÷ 2 より

$10 \times 5 \div 2 = 25 cm^2$

数学的に 三平方の定理を使って解く

$\overline{AB} = \overline{AC} = a, \overline{BC} = b$とおく

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は

$S = \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle 2}$

また、三平方の定理より

$b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

ゆえに

$S = \frac{\displaystyle b^2}{\displaystyle 2\cdot2}$

まとめ

このように、二等辺三角形の面積公式を作ることも出来ますが、二等辺三角形だと この公式。直角二等辺三角形だと この公式。と別々に覚えるのは大変ですね。

ですので、やみくもに公式を覚えるのではなく、(底辺) × (高さ) ÷ ２ が当てはまる、底辺 と 高さ を探す ほうが、簡単だと思います。

三角形の面積公式が (底辺) × (高さ) ÷ ２ となる詳しい解説は、こちらをどうぞ → 直感的に求めよう！直角三角形の面積の求め方