
出来ない… 底辺と高さはどこだろう??
直角二等辺三角形の面積を算数で求める
【基本】三角形の面積公式
(三角形の面積) = (底辺) × (高さ) ÷ 2
補助線で高さを作る
辺BCを底辺とし、その高さは、直角に引いた赤い補助線ADとなります。
高さを求める
三角形ABCは、補助線により、三角形ABD と 三角形 ACD に分ける。
$\triangle ABC$ は、問題文より直角二等辺三角形であるから
$\angle ABD = 45^\circ$
$\angle BAD$を求めると、
$$ \begin{eqnarray}
\angle BAD &=& 180^\circ – \angle ABD – \angle BDA \\
&=& 180^\circ – 45^\circ -90^\circ \\
&=& 45^\circ
\end{eqnarray} $$
よって、$\textcolor{red}{\triangle ABC}$ は、$\angle ABD = \angle BAD = 45^\circ$ の直角二等辺三角形であり、$BD = AD$ となる
同様に $\textcolor{red}{\triangle ADC}$ も直角二等辺三角形となり、
$\triangle ABD$と$\triangle ADC$は、辺ADの長さが等しい事より、合同な直角二等辺三角形となります。
よって、$AD = 5cm$
面積の計算をすると
求める面積は、(底辺) ✕ (高さ) ÷ 2 より
$10 \times 5 \div 2 = 25 cm^2$
数学的に 三平方の定理を使って解く
$\overline{AB} = \overline{AC} = a, \overline{BC} = b$とおく
$\triangle ABC$ の面積 $S$ は
$S = \frac{\displaystyle a^2}{\displaystyle 2}$
また、三平方の定理より
$b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
ゆえに
$S = \frac{\displaystyle b^2}{\displaystyle 2\cdot2}$
直角二等辺三角形の面積
$S = \frac{\displaystyle b^2}{\displaystyle 4}$
$S = a^2\sin45^\circ$
まとめ
このように、二等辺三角形の面積公式を作ることも出来ますが、二等辺三角形だと この公式。直角二等辺三角形だと この公式。と別々に覚えるのは大変ですね。
ですので、やみくもに公式を覚えるのではなく、(底辺) × (高さ) ÷ 2 が当てはまる、底辺 と 高さ を探す ほうが、簡単だと思います。
三角形の面積公式が (底辺) × (高さ) ÷ 2 となる詳しい解説は、こちらをどうぞ → 直感的に求めよう!直角三角形の面積の求め方