面積とはとっても単純化すると、[Link] 一辺が1の正方形(単位面積)が何個置けるか? でした。
では、正方形（単位面積）が置ける形に変化させましょう。
(対角線)×(対角線)÷ 2 の公式とは何か？
ひし形の注目する三角形を赤で表示
ひし形の中心から $fradc{1}{4} の三角形を 赤色で色付。
また、わかりやすくするために
- 図形の後ろに 1×1cmのマス目
- 対角線の長さを、ひし形の外に書きました
どこに、三角形を置けば、計算しやすい長方形ができるでしょうか?
赤い三角形を置いてみましょう♪
点線で描いた 三角形 □あ は、元の ◯あ の三角形と同じ形です。
お子さんには紙にプリントアウトして、はさみで切って見せてあげてください。(もしくは、 6cm x 4cm の長方形を折て ひし形を作って下さい)。
ひし形全体で 同じ三角形を置く
- ◯い と 同じ三角形の □い
- ◯う と 同じ三角形の □う
- ◯え と 同じ三角形の □え
を それぞれの ◯ の 外側に同じ大きさで 書きます。
外側の点線を見ると、6cm x 4cm の長方形が出来ました。
点線の長方形の面積を計算
点線の長方形の面積は、
$6 cm\times 4 cm = 24 cm^2 $
元々の ひし形 と、長方形 の 面積の関係
◯ と □ の面積は一緒なので、長方形の面積は、ひし形の面積の2倍
よって、求める ひし形の面積 は、 ( 長方形の面積 ) ÷ 2
$ 24 cm^2 \div 2 = 12 cm^2 $
ひし形の面積の公式とは?
【公式】 (ひし形の面積) = (縦の対角線) × (横の対角線) ÷ 2
(縦の対角線) × (横の対角線) の 長方形の面積の半分
ひし形の面積は、(対角線) × (対角線) ÷ 2 の公式をただ覚えるだけでなく、
上記のように 三角形を置いて長方形をつくり、その長方形の面積の半分となる と言った 考え方が必要です。
と 言うのも… 中学受験算数で、単純にひし形の面積を求める問題はほとんど出ません。
出題されるのは、円に内接する正方形の面積等、ひし形の面積を理解した上で他の図形にも応用できる力が試されます。
ですので、単に暗記しただけですと、解けない場合がありますので、公式の成り立ちを理解するようにしてください。
平行四辺形として面積を計算する
えっ! 対角線が描いてない!!
見方を変える
回転させましょう。
いつも見慣れた「平行四辺形」の面積問題 になりましたね。
よって、ひし形の面積は、
$8 \times 6 = 48 cm^2$
なぜ 平行四辺形の面積公式が使えるのか?
ですので、平行四辺形と同じ方法で面積を求めることが出来ます。
平行四辺形の面積については 詳しくは → [Link] 公式なんて覚えない！平行四辺形の面積は直感的に考えよう♪
まとめ
ひし形の面積問題を何問も解いていると、結局は (対角線) x (対角線) ÷ 2 を覚えてしまうと 思います。それは良いことなのですが、逆に その公式を忘れたり、書いていなかったら、問題が解けない!! では困ってしまうので…
ひし形の面積は、公式忘れても なんとかなるよ と、考え方を教えてあげてください。
