弧の長さを使った扇(おうぎ)型の面積の公式を知っていますか?

このおうぎ形の面積を求めよ

今回は、角度を使った一般的な公式から順に解説していきます。
公式だけを知りたい方は、目次でおうぎ型・スーパー三角形の公式へ飛んでください。

角度を使った一般的な扇型の面積の公式

おうぎ形の面積の考え方は、同じ半径の円に比べてどれぐらいの割合であるか? を 考えます。

同じ半径の円 との 割合の比べ方は、中心角を使うのが一般的です。

例題の一般的な解き方

このおうぎ形の面積を求めよ

弧の長さ と 元の円の円周を 比較する

このおうぎ形の元になった、半径 3cm の円を考えます

半径 3cm の円の 円周の長さは $\textcolor{red}{直径(半径\times2)\times3.14}$ より

$3\times2\times3.14=18.84 cm$

おうぎ型の弧の長さ(問題文より$3.14cm$)を比べると

$3.14\div18.84=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$

よって、おうぎ型は元の円の$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$の大きさとなります。

計算のコツ

円周率$3.14$等、面倒な数値が入る計算は後回しにした方が良い

$3.14\div(3\times2\times3.14)=\frac{\displaystyle 3.14}{\displaystyle 3\times2\times3.14}$

分母と分子に$3.14$があるので、消すと計算が楽になります

求めるおうぎ形の面積は

このおうぎ形の面積は、元の円の面積の 6分の1 であるから

$3\times3\times3.14\times\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}=\underline{4.71 cm^2 \dots Ans.}$

おうぎ型・スーパー三角形の公式

$3\times3.14\times\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=\underline{4.71 cm^2 \dots Ans.}$

スーパー三角形公式はどうして出来るのか

中心角のわかっている、おうぎ型の弧の長さの公式

$弧の長さ=\textcolor{blue}{半径\times2\times3.14\times\frac{\displaystyle 中心角}{\displaystyle 360^\circ}}$

中心角のわかっている、おうぎ型の面積を求める公式

$面積=半径\times半径\times3.14\times\frac{\displaystyle 中心角}{\displaystyle 360^\circ}$

面積を2倍にすると

$面積\times2=半径\times\textcolor{blue}{半径\times2\times3.14\times\frac{\displaystyle 中心角}{\displaystyle 360^\circ}}$

青い部分は、弧の長さの公式そのものであるから

$面積\times2=半径\times\textcolor{blue}{弧の長さ}$

$\textcolor{red}{面積=半径\times弧の長さ\div2}$

の公式が導き出される

まとめ

あまり、公式を覚えろ!! っていうのは 好きではないので、スーパー三角形のテクニックなんて塾では、言っています。
まぁ、同じことで… 言葉遊びみたいなものですがw

しかし、子ども達に教えるときに、「おうぎ型で弧の長さがわかっている時には、この公式を使いなさい!!」って教えるよりも、「弧の長さがわかっていれば、すっごい 方法 知ってるよ」って 言って教えてあげたほうが、喜んでくれるのでスーパー三角形のテクニックと呼んでいます