比の = は、比の値が一緒
比の値とは
いきなり、語句だらけになってしまいましたが、解説していきます。
前項
2 : 3 のとき、前側(左側) の 2 が 前項となります。
後項
2 : 3 のとき、後側(右側) の 3 が 後項となります。
比の値
2 : 3 のとき、前項 = 2 , 後項 = 3 なので、
$$ \begin{eqnarray}
比の値 &=& (前項) \div (後項) \\
&=& 2 \div 3 \\
&=& \frac{2}{3}
\end{eqnarray}$$
これが比の値となります。
2 : 3 = 10 : □ を比の値を使って解こう
2 : 3 の比の値は、$\frac{2}{3} $
なので、2 : 3 = 10 : □ の右側の比 10 : □ の 比の値も $\frac{2}{3}$ となります。
$$ \begin{eqnarray}10 \div □ = \frac{2}{3} \\
∴ □ = 15 \end{eqnarray}$$
$$ 2 :3 = 10 : \color{red}{15}$$
比の値のまとめ
a : b = c : d とは、比の値が一緒。
つまり、$$\color{red}{\frac{a}{b} = \frac{c}{d}} $$
内項の積と外項の積を使った解き方
内項の積・外項の積とは
内側の2つを内項。外側の2つを外項と呼びます。ので、それぞれの積は、
内項の積
内項をかけ算したもの … つまり内項の積
$$3 \times10 = 30$$
外項の積
外項をかけ算したもの … つまり外項の積
$$2 \times x = 2x$$
内項の積と外項の積を利用する
比の値のまとめ で
a : b = c : d とは、$ \color{red}{\frac{a}{b} = \frac{c}{d}} $
であることが、わかりました。
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$を変形すると
$$ \begin{eqnarray} \frac{a}{b} &=& \frac{c}{d} \\
\frac{a}{b} \times bd &=& \frac{c}{d} \times bd \end{eqnarray}$$
$$ ∴ \color{red}{a \times d = b \times c} $$
$$ \begin{eqnarray} a : b &=& c : b \qquad のとき\\
a \times d &=& b \times c \end{eqnarray}$$
3 \times 10 &=& 30 \qquad (外項の積)\\
2 \times □ &=& 30 \qquad (内項の積は外項の積と等しい) \\
∴ □ &=& 15 \end{eqnarray}$$
まとめ
比の値とは?
$$\color{red}{a:bの比の値は\frac{a}{b}}$$
内項の積と外項の積は等しい
$$ \begin{eqnarray} a : b &=& c : b \qquad のとき\\
\color{red}{a \times d} &\color{red}{=}& \color{red}{b \times c} \end{eqnarray}$$
