知ってましたか? 11の倍数の見つけ方♪見分け方♪

具体例

175428 が 11の倍数であるか計算します。

1. 一つ飛ばしに色分けする
   1 7 5 4 2 8
2. 足し算をする
   1 + 5 + 2 = 8
   7 + 4 + 8 = 19
3. 差が11の倍数であるか調べる
   19 – 8 = 11
   今回 差が 11 で、これは 11の倍数であるから、175428は11の倍数となる。

なぜ そうなるのか??

元の数字を $abcdef$ とします。

※ 数学で $abc$ と書くと $a \times b \times c$ の事を意味しますが、今回だけ $a$百(ひゃく)$b$十(じゅう)$c$ の事を表します。

$$ \begin{eqnarray}
abcdef &=&  a\times100000 + b\times10000 + c\times1000 + d\times100 + e\times10 + f \\
&=& a\times( 100001 – 1 ) + b\times( 9999 + 1)  + c\times( 1001 – 1 ) + d\times( 99 + 1) + e\times( 11 – 1 ) + f \\
&=& a\times100001 + a + b\times9999 + b  + c\times1001 – c  + d\times99 + c + e\times11 – e + f \\
&=& a\times11\times9091 + a + b\times11\times909 + b  + c\times11\times91 – c  + d\times11\times9 + c + e\times11 – e + f \\
&=& \textcolor{green}{11\times( a\times9091 + b\times909 + c\times91 + d\times9 + e )} + \textcolor{blue}{( b + d + f )} – \textcolor{red}{( a + c + e )}
\end{eqnarray}$$

1. $\textcolor{green}{11\times( a\times9091 + b\times909 + c\times91 + d\times9 + e )}$ は 11の倍数
2. よって、$\textcolor{blue}{( b + d + f )} – \textcolor{red}{( a + c + e )}$が 11の倍数であれば、$abcdef$は11の倍数である。

※ $\textcolor{red}{( a + c + e )}$ が $\textcolor{blue}{( b + d + f )}$ より 大きくなった場合でも成り立ちます。

11の倍数の見つけ方のポイント

2桁目 は 10 + 1 = 11 に注目する。
3桁目 は 100 – 1 = 99 = 9 x 11 に注目する。
4桁目 は 1000 + 1 = 1001 = 91 x 11 に注目する。
5桁目 は 10000 – 1 = 9999 = 909 x 11 に注目する。

偶数桁目 では +1 する。奇数桁目 では -1 する。ことによって、11の倍数を作ることが出来ます。