これは自慢できる!? 7の倍数の見つけ方♪見分け方♪

3 や 4 の倍数の見つけ方は、塾で習ったことがあるかと思いますが… 7 の倍数の見分け方って、あんまり聞かないですよね? では、紹介していきましょう♪

7の倍数の見つけ方

7の倍数の見つけ方

元の数字を $abcdefghijkl$ とします。

※ 数学で $abc$ と書くと $a \times b \times c$ の事を意味しますが、今回は $a$百(ひゃく)$b$十(じゅう)$c$ の事を表します。

1. この数字を、一の位から 3桁ごとに分けていきます。(欧米の , を使った区切り方と同様です)
   $$abc,def,ghi,jkl$$
2. 3桁のカタマリを一つ飛ばしに グループ化します 今回は色分けして 赤と青のグループにします。
   $$ \textcolor{red}{abc},\textcolor{blue}{def},\textcolor{red}{ghi},\textcolor{blue}{jkl}$$
3. グループごとに和を求めて、引き算をする。$$ ( \textcolor{red}{abc} + \textcolor{red}{ghi} ) – ( \textcolor{blue}{def} + \textcolor{blue}{jkl} ) $$
   青の和の方が 赤の和よりも大きい場合ば、青 – 赤 の計算をします
4. この 差 が 7の倍数であれば もとの $abcdefghijkl$ は7の倍数です。

例題の解答

17848978 が 7の倍数であるか、確認してみましょう。

1. 欧米式の , を 入れて3桁ごとにわける。
   $$17,848,978$$
2. 3桁のカタマリを一つ飛ばしに グループ化。
   $$\textcolor{red}{17},\textcolor{blue}{848},\textcolor{red}{978}$$
3. グループごとに和を求めて、引き算をする
   $$\begin{eqnarray}
   ( \textcolor{red}{17} + \textcolor{red}{978} )  – \textcolor{blue}{848} &=&17 + 978 – 848 \\
   &=& 17 + 130\\
   &=& 147
   \end{eqnarray}$$※ 計算のテクニック >> この式は 17 + 978 を先に計算するより、978 – 848 を計算してから 17 を加えたほうが早いです。
4. 147は7の倍数なので、もとの 17848978  は 7の倍数である。

計算がめんどくさいですねぇ…。　そこまでして ７の倍数を見つける必要性があるか? と言いますと、算数の問題上はほとんど必要が無いですね…。

それなのに、こんな面倒な事を解説している意味は、何故 この方法で 7の倍数が見つかるのか? を 理解して欲しいからです。

こういった、倍数の性質を理解している子どもは 同じ数字を見たときでも、倍数の性質を知らない子どもとは違った数字の見方が出来るようになります。
その事を学び取って欲しいなぁ～と思って、こんな面倒な 法則 を解説しています(笑)

なぜ そうなるのか??

元の数字を $abcdefghi$ とします。
$$abcdefghi = \textcolor{red}{abc} × 1000000 + \textcolor{blue}{def} × 1000 + \textcolor{red}{ghi}$$
ここで $\textcolor{red}{abc = A}, \textcolor{blue}{def = D}, \textcolor{red}{ghi = G} $と置き換えると
$$\begin{eqnarray}
abcdefghi &=& \textcolor{red}{A} × 1000000 + \textcolor{blue}{D} × 1000 + \textcolor{red}{G} \\
&=& 1000 × 1000 × \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{D} + \textcolor{red}{G}
\end{eqnarray}$$

ポイント!!

1000 に近い7の倍数である 1001 を利用する $( 1001 = 143 \times 7 )$

$$ \begin{eqnarray}
\textcolor{red}{A} × 1000000 + \textcolor{blue}{D} × 1000 + \textcolor{red}{G} &=& 1000 × (1001 – 1 ) × \textcolor{red}{A} + ( 1001 – 1 ) × \textcolor{blue}{D} + \textcolor{red}{G} \\
&=& 1000 × (1001 × \textcolor{red}{A} – \textcolor{red}{A} ) + 1001 × \textcolor{blue}{D} – \textcolor{blue}{D} + \textcolor{red}{G} \\
&=& ( 1001 – 1 ) × (1001 × \textcolor{red}{A} – \textcolor{red}{A} ) + 1001 × \textcolor{blue}{D} – \textcolor{blue}{D} + \textcolor{red}{G} \\
&=& 1001 × 1001 × \textcolor{red}{A} – 2 × 1001 × \textcolor{red}{A} + \textcolor{red}{A} + 1001 × \textcolor{blue}{D} – \textcolor{blue}{D} + \textcolor{red}{G}\\
&=& 1001 × ( 1001 × \textcolor{red}{A} – 2 × \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{D} ) + A + G – D
\end{eqnarray}$$

まとめると
$$abcdefghi = 1001 × \fbox{$( 1001 × A – 2 × A + D )$} + \fbox{$\textcolor{red}{A + G} – \textcolor{blue}{D}$} $$
$$= 7 \times 143 \times \fbox{$( 1001 × A – 2 × A + D )$} + \fbox{$\textcolor{red}{A + G} – \textcolor{blue}{D}$} $$

$7 \times 143 \times \fbox{$( 1001 × A – 2 × A + D )$}$は7の倍数であるから、残りの $\fbox{$\textcolor{red}{A + G} – \textcolor{blue}{D}$} $ が ７の倍数であれば、元の数 $abcdefghi$ は 7の倍数である。

これ以上 桁数が増えた場合でも、この法則が証明できますが、あまりにも 数学的なので 今回は省略します。

まとめ

解説は、いかにも数学っぽいので…。いきなり子どもたちに見せても理解しにくいかと思います。　ので、 $abc$ とかを使わずに、具体的な 7の倍数の数字で、何回も 同じ計算をしていけば、「ふ～ん、なるほど。」と理解してくれると思います。