もっと簡単に!!9の倍数の見つけ方♪見分け方♪

例題の解答

1515809277 が９の倍数かどうか? を上の方法で確かめて見ましょう。

1. 各位の和を求める
   1 + 5 + 1 + 5 + 8 + 0 + 9 + 2 + 7 + 7 = 45
2. 和の45 は 9の倍数なので、元の数字 1515809277 は 9の倍数である。

なぜ そうなるのか??

元の数字を $abc$ とします。

※ 数学で $abc$ と書くと $a \times b \times c$ の事を意味しますが、今回だけ $a$百(ひゃく)$b$十(じゅう)$c$ の事を表します。

$$ \begin{eqnarray}
abc &=&  a\times100 + b\times10 + c \\
&=& a\times( 99 + 1 ) + b\times( 9 + 1)  + c \\
&=& a\times9\times11 + a + b\times9 + b  + c \\
&=& \textcolor{red}{9\times( a\times11 + b )} + \textcolor{blue}{(a + b + c)} \\
\end{eqnarray}$$

1. $\textcolor{red}{9\times( a\times11 + b )}$ は 9 の倍数である
2. よって、残りの$ \textcolor{blue}{(a + b + c)}$ が 9 の倍数であれば、$abc$ は 9 の倍数となる。

具体的な計算

1. 0 , 9 を消す 
   1 5 1 5 8 0 9 2 7 7
2. 足して 9 の 倍数になる 組み合わせを 消す
   1 5 1 5 8 0 9 2 7 7 → 2 + 7 = 9 なので消す
   1 5 1 5 8 0 9 2 7 7 → 1 + 1 + 7 = 9 なので消す
   1 5 1 5 8 0 9 2 7 7 → 5 + 5 + 8 = 18 は 9の倍数なので消す
   1 5 1 5 8 0 9 2 7 7
3.  全て消えたので、1515809277 は 9の倍数です。

なぜそうなるのか?

$$ \begin{eqnarray}
( 1 + 5 + 1 + 5 + 8 + 0 + 9 + 2 + 7 + 7 ) \div 9 &=& \frac{\textcolor{red}{( 2 + 7 )} + \textcolor{blue}{ (1 + 1 + 7) } +\textcolor{green}{( 5 + 5 + 8 )} + 0 + 9}{9} \\
&=& \frac{\textcolor{red}{9} + \textcolor{blue}{9} +\textcolor{green}{18} + 0 + 9}{9} \\
&=& \frac{\textcolor{red}{9}}{9} + \frac{\textcolor{blue}{9}}{9} + \frac{\textcolor{green}{18}}{9} + \frac{9}{9}\\
&=& \textcolor{red}{9の倍数} + \textcolor{blue}{9の倍数} + \textcolor{green}{9の倍数} + 9の倍数
\end{eqnarray}$$

左辺のように、全部最初に足し算をする場合と、右辺のように、所々でまとめてしても 結局は 同じ計算をしたこととなります。