3つのつるかめ算は、2つに減らしてスッキリ理解♪

翼くんは、60円、90円、120円の3種類の切手を合わせて17枚買って1440円となりました。60円の切手は90円の切手の2倍の枚数を買いました。それぞれの切手の枚数は何枚になるでしょうか。
知りたがり
3つわからないモノがあるね
算数パパ
今回は3つのつる亀算の解説です

3つのつる亀算ですので、つる亀 + 昆虫でつる亀虫算なんて言い方もあるらしいですが、このサイトでの呼び方は3つのつる亀算とします。

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3つのつるかめ算のポイント

新しい切手を作って2つのつるかめ算にする

新しい切手とは、何かといいますと…
問題文には、60円の切手は90円の切手の2倍の枚数を買いました。と書いてあります。
つまり、

$90$円切手が$0$枚だと、$60$円切手は$0\times2=0$枚
$90$円切手が$1$枚だと、$60$円切手は$1\times2=2$枚
$90$円切手が$2$枚だと、$60$円切手は$2\times2=4$枚

以下、続く…となります。
つまり、90円と60円の切手の割合は常に、90円が1枚と60円が2枚のセットとなります。

の90円1枚と60円2枚切手セットの1セットの値段

$90 \times 1 + 60 \times 2 = 210 $(円)

1セットに3枚の切手が入っているので、このセットの中にある切手の平均価格は、

$210 \div 3 = 70 $ (円)

この 1枚70円の切手が、新しく出来た切手となります。

つまり

90円1枚と60円2枚切手セット 210円は、70円切手3枚と同じこと

算数パパ
70円切手を使って問題文を置き替えよう

置き替えた問題を解く

翼くんは、70円、120円の2種類の切手を合わせて17枚買って1440円となりました。それぞれの切手の枚数は何枚になるでしょうか。

元問題の 90円1枚と60円2枚切手セットの1セット(3枚)70円切手 3枚置き換えたので

  • 合わせた枚数 17枚
  • 総額 1440円

は変わりません。

面積図を使った解答法

面積図を書く

縦に価格、横に枚数を書く

3つのつる亀算

価格 × 枚数 = 購入金額ですので、この図の面積が購入金額となります。

3つのつる亀算

全部が120円の切手と仮定

$120(円) \times 17(枚) = 2040 (円)$

17枚すべてが120円切手とすると、先程の面積(1440円)より大きな長方形が出来ます

3つのつる亀算

 

 

元の面積図との差を考える

2つの図を赤が下になるように、重ねあわせると…

3つのつる亀算 3つのつる亀算
3つのつる亀算全てが120円切手だった場合の面積は $2040$ でしたので、問題文の $1440$ とのは、左上の赤い四角で表され、その面積は
$2040-1440 = 600$
また、赤い四角の 縦の長さは、120円切手 と 70円切手 の金額の差なので
$120-70 = 50$
よって、赤い四角の横の長さ
$600 \div 50 = 12 $
3つのつる亀算
赤い四角の横の長さと、青い四角の横の長さ(70円切手の枚数)は等しいため
70円切手の枚数は 12枚
120円切手の枚数は 17 – 12 = 5枚 $\dots ①$

70円切手は、90円切手と60円切手の平均

70円切手3枚の本当の姿は90円が1枚と60円が2枚の切手セットでした

よって 70円切手 が 12枚は、70円切手3枚セット が 4セット$(12\div3=4)$あるということ

つまり、90円が1枚と60円が2枚 が 4セットあると、同じなので

90円切手 $1\times4=4$(枚)
60円切手 $2\times4=8$(枚)

①より、120円切手は5枚なので

Ans. 60円切手 8枚, 90円切手 4枚, 120円切手 5枚

ポイントのみを書きましたので、つる亀算の面積図で解く基本はコチラを参照してください → [Link] つるかめ算は公式!?を使わないで、面積図で解いたほうが早いよ♪

グラフを使った解答法

全て120円もしくは70円だった場合のグラフを書く

全て70円切手だった場合、枚数に対する総額のグラフ

グラフで解くつる亀算

全て120円切手だった場合、枚数に対する総額のグラフ

グラフで解くつる亀算

この二つのグラフを合わせる

グラフで解くつる亀算

しかし、実際の切手購入金額の合計は 1440円ですので、何枚か120円切手を買って何枚かは70円切手を買っていることとなります。

グラフで解くつる亀算

図形の問題だと思って解く

先ほどのグラフを図形の問題として見てみましょう

グラフで解くつる亀算$\triangle{ADE}\sim\triangle{ABC} $
(※ $\sim$ は、相似であることを示すマーク。∽は日本のみで使用。)

このことから、

$\overline{BG} : \overline{DF} = \overline{AC} : \overline{AE} $
$17 : \overline{DF} = (600+250) :250 $
$\overline{DF} = 12 $

よって、

  • 辺DF = 70円切手の枚数 = 12 枚
  • 120円切手の枚数 = 17 – 12 = 5 枚

70円切手12枚とは、60円切手と90円切手の仮の姿でしたので、元の姿に戻す(面積図での解を参照して下さい)と、60円切手 8枚、90円切手 4枚となります。

Ans. 60円切手 8枚, 90円切手 4枚, 120円切手 5枚

ポイントのみを書きましたので、つる亀算のグラフで解く基本はコチラを参照してください → [Link] グラフで簡単に理解♪つるかめ算解き方を考えよう!

3つのつるかめ算とは

必ず、問題に ヒント(今回の場合は、60円の切手は90円の切手の2倍の枚数を買いました。)があります。そのヒントを使うと 2つのいつものつるかめ算になり、計算ができます。

算数パパ
3つのつる亀算は2つのつる亀算に変えよう!!
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